标准DH与改进DH的讨论The discussion of sDH and mDH

浅尝辄止是乐趣，也导向惶恐

前言

这个学期开了“机器人学”的课程，学到了机器人手臂位置的表示，老师主要教的mDH，后来略微提到了sDH，在提到标准的DH表示后有不理解，于是自己钻研了一会，在在这里写下来，以防止以后自己再有不解，再者也是分享给诸位。
读本文的前提：掌握了基本的坐标变换，至少知道mDH或者sDH中一种

重要理解

1.一个连杆对应一个坐标系，坐标系代表了连杆的特征。
2.连杆与连杆之间的位置关系对应就是坐标与坐标的位置关系。
3.一个连杆的坐标系可以固连在连杆的任何位置，坐标系的轴方向也可以是任意，mDH与sDH只是规定了坐标系固连的位置与坐标系轴的朝向的一种建模方法。
4.DH表描述的是杆之间的关系

描述

1.改进DH：连杆的坐标系放置在连杆的近端（即上一个关节i的位置），Z轴方向上一个i关节轴向平行（朝向可自拟定），X轴朝向上一个关节i轴向与下一个j关节j轴向的叉乘方向（即两关节的公垂线（公法线）方向）。
DH参数：$（\alpha i-1，ai-1，\theta i，di）$
角度确定：
$\alpha i-1：以Xi-1方向看，Zi-1和Zi之间的夹角$
$ai-1：沿着Xi-1方向，Zi-1和Zi之间的距离$
$\theta i：以Zi方向看，Xi-1和Xi之间的夹角$
$di：沿着Zi方向，Xi-1和Xi之间的距离$
由于我们得到参数是先相对于$Xi-1$方向 后相对于 $Zi$方向 得到的四个参数$（\alpha i-1，ai-1，\theta i，di）$，所以在转换矩阵中执行的顺序也是$（\alpha i-1，ai-1，\theta i，di）$，这里我们可以发现$\theta i，di$都是以$Zi$变换的，所以在变换前后$Zi$的方向不变，所以在转换矩阵中$\theta i，di$的位置可以互换，同理$\alpha i-1，ai-1$。

2.标准DH：连杆的坐标系放置在连杆的远端（即下一个关节j的位置），Z轴方向下一个j关节轴向平行（朝向可自拟定），X轴朝向下一个关节i轴向与上一个关节j轴向的叉乘方向（即两关节的公垂线（公法线）方向）。
DH参数：$（\theta i，di，\alpha i，ai）$
角度确定：
$\theta i：以Zi-1方向看，Xi-1和Xi之间的夹角$
$di：沿着Zi-1方向，Xi-1和Xi之间的距离$
$\alpha i：以Xi方向看，Zi-1和Zi之间的夹角$
$ai：沿着Xi方向，Zi-1和Zi之间的距离$
由于我们得到参数是先相对于 $Zi-1$方向 后相对于 $Xi$方向 得到的四个参数$（\theta i，di，\alpha i，ai）$，所以在转换矩阵中执行的顺序也是$（\theta i，di，\alpha i，ai）$，这里我们可以发现
$\theta i，di$都是以$Zi-1$变换的，所以在变换前后$Zi-1$的方向不变，所以在转换矩阵中$\theta i，di的位置可以互换，同理\alpha i，ai$。
区别：1.坐标放置系放置的位置不同；2.Z轴方向与X轴方向的定义不同；3.坐标变换的顺序不同。
mDH的优越点：对于闭环的系统，用标准DH会出现坐标重叠产生歧义，而改进sDH由于坐标系在近端则不会出现这种情况。

例子

使用标准DH与改进DH表示法建立如下机械手的坐标系，写出其DH表格。

分析：这是一个很普通的0-R-R-R的机器人，连杆都在同一平面内。
改进DH：

如图，由于所有连杆在同一坐标系内，所以所有坐标系的的Z轴都垂直于纸面向外，基坐标系{0}与坐标系{1}原点重叠。给出DH表：

标准DH：

如图，由于所有连杆在同一坐标系内，所以所有坐标系的的Z轴都垂直于纸面向外，坐标系{2}与末端坐标系{3}原点重叠。给出DH表：

总结

总的来说，DH表是用于确定两个坐标系关系的表达。无论是标准的DH或是优化的DH，
$\theta i，di表示的两个坐标系Xi-1与Xi轴的位置关系（\theta i表示两X轴的空间夹角，di表示的是两轴的空间距离），同理\alpha i，ai（\alpha i-1，ai-1），至于矩阵乘法的位置关系在于参考轴的选择，数值的不同在于两种DH构建坐标系的位置不同$。
不大不小，就是一种建模方法，如果诸位也有更好的方法也未尝不可，最怕陷入僵硬的教条，在别人指定的规则中死磕硬碰，去究所谓的对错。也真是可笑

有误错欢迎批评指正，水平有限