2013年3月30日竞赛题目二 Sigma-优快云博客

本文探讨了计算1^k + ... + n^k的多项式系数的方法，利用伯努利数和组合数简化计算过程。通过实例演示了如何通过已知公式推导出任意k值对应的系数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Sigma

Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 65535/32768K (Java/Other)

Problem Description

小H是一个程序员。他很喜欢做各种各样的数学题，尤其喜欢做《水泥数学》。

在看了《水泥数学》的2.5章后，小H终于会用9种计算 1^2+2^2+...+n^2 了！这两天，他一直在思考一个加强的问题。他想要计算1^k+...+n^k。

通过思考，他发现对所有k，P(n)=1^k+...+n^k 可以表示成一个最高次数为 k+1 的有理系数多项式。比方说当k=1时P(n)=n(n+1)/2.

现在，对某个k，小H想知道P(n)的系数。

Input

第一行为一个整数t（1 <= t <= 31），表示有 t 组测试数据；

下面T行每行一个正整数k（0 <= k<= 30），表示一组数据。

Output

对于每个输入k，输出一行 k+2 个分数，依次给出此时 P(n)=a_{k+1} n^{k+1}+...+a_1 n+a_0 的系数 a_{k+1}，....，a_0。所有分数必须以 “a/b” 的形式给出，其中a和b为整数且互质，b>0 ；如果某一项为0，输出 “0/1”。

Sample Input

Sample Output

1/2 1/2 0/1

1/3 1/2 1/6 0/1

分析：伯努利数+组合数

#include<cstdio>
#define ll __int64
#define N 31
ll c[N][N];
struct B{
	ll a,b;
}B[N];
ll gcd(ll m,ll n){return n?gcd(n,m%n):m;}
int main()
{
	int T,n,i,j;
	for(i=3;i<30;i+=2)B[i].a=0;
	B[1].a=1,B[1].b=2;
	B[2].a=1,B[2].b=6;
	B[4].a=-1,B[4].b=30;
	B[6].a=1,B[6].b=42;
	B[8].a=-1,B[8].b=30;
	B[10].a=5,B[10].b=66;
	B[12].a=-691,B[12].b=2730;
	B[14].a=7,B[14].b=6;
	B[16].a=-3617,B[16].b=510;
	B[18].a=43867,B[18].b=798;
	B[20].a=-174611,B[20].b=330;
	B[22].a=854513,B[22].b=138;
	B[24].a=-236364091,B[24].b=2730;
	B[26].a=8553103,B[26].b=6;
	B[28].a=-23749461029,B[28].b=870;
	B[30].a=8615841276005,B[30].b=14322;
	for(i=1;i<N;i++)c[i][1]=i,c[i][i]=1,c[i][0]=1;
	for(i=2;i<N;i++){
		for(j=2;j<=i;j++){
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
		}
	}
	ll AA,BB,C;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("1/%d",n+1);
		for(i=0;i<n;i++){
			AA=c[n][i]*B[i+1].a;
			if(AA==0){printf(" 0/1");continue;}
			BB=(i+1)*B[i+1].b;
			if(AA<0)C=gcd(-AA,BB);
			else C=gcd(AA,BB);	
			printf(" %I64d/%I64d",AA/C,BB/C);
	        }
		puts(" 0/1");
	}
	return 0;
}