leetcode 330. Patching Array (greedy 含推导)

本文探讨了一种算法，旨在给定一个已排序的正整数数组和一个目标值n的情况下，通过添加最少数量的补丁（元素），使得数组中的数能够组合形成1到n之间的任意数值。文章通过具体实例，详细解释了算法的实现思路和过程。

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Given a sorted positive integer array nums and an integer n, add/patch elements to the array such that any number in range [1, n] inclusive can be formed by the sum of some elements in the array. Return the minimum number of patches required.

Example 1:

Input: nums = [1,3], n = 6
Output: 1
Explanation:
Combinations of nums are [1], [3], [1,3], which form possible sums of: 1, 3, 4.
Now if we add/patch 2 to nums, the combinations are: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3].
Possible sums are 1, 2, 3, 4, 5, 6, which now covers the range [1, 6].
So we only need 1 patch.
Example 2:

Input: nums = [1,5,10], n = 20
Output: 2
Explanation: The two patches can be [2, 4].

给出一个数组，和一个n，让在数组中填上元素，使数组中的数相加可以得到1～n的所有的数
另外数组中的数不能重复使用（如果能重复使用的话1可以解决所有问题）

思路：
首先举个例子：
[1, 2, 3, 4], 这里面的数任意组合，可以得到的和是1～7，即 < 4*2
（1+4=5， 2+4=6，3+4=7）

一般性推广（此处n代表最后一个元素）：
数组[1, 2, 3, … , n-1, n]中
1～(n-1)依次和n相加，可以得到n+1, n+2, …, 2n-1
包含前面的1～n的数，可以表示1～（2n-1）范围的数

因此1～n的数组中元素任意相加，最大可以表示到2n-1的数，即边界<2n

可以得知上述[1, 2, 3, 4]数组可以表示1～4*2-1的范围
这时候如果再来一个元素5，即5 < 现数组可以加到的最大范围（2n-1）= 7
那么只需要将1～（2n-1）依次和5相加，可以得到1～（2n - 1) + 5的范围

这时候如果来一个10，即10 > 现数组可以加到的最大范围（2n-1）= 7
可以看到就算10不和任何数相加，也最小是10，而前面的数组最大只能加到7，中间的8和9是无法得到的，因此这个时候就需要补充元素8，然后因为8的加入，最大可以表示到(2n - 1) = 15，因此9就不需要再加了

回到题目（此处n是题目中的n）：
[1, 5, 10] n= 20
因为数组是sorted的，所以从左到右，先是1，1可以表示的范围到 < 2 * 1, 即 < 2
下一个元素5， 5 >= 最大边界2（不包含2），所以中间的2，3，4无法得到，这时候先补充2， 2的加入使边界更新到 < 2 * 2, 即4（注意不包含4）
5 仍然 >= 4, 所以再补充4，更新边界到 < 2 * 4, 即8（不包含8）
5现在 < 8, 就可以用1～8依次和5相加，得到最大边界是 < 5+8 = 13
5使用完之后读入下一元素10， 10 < 13, 更新最大边界到10 + 13 = 23
而n=20，包含在最大边界23内，因此得到结果，只需要补充2，4即可

注意出错点：
如果n是最大整数(Integer.MAX_VALUE)，为了追求这个n，会不断补充元素并更新边界直到>n，如果边界取Integer型, 会产生整数溢出，变成负值，然后就会endless loop，所以注意边界curMax要取long
index超出数组时的处理：直接补充元素并更新边界

思路是这样的：

while(curMax <= n) {
  if (index >= nums.length) {
     补充curMax元素，更新边界curMax到curMax*2
  } else {
     if (nums[index] < curMax) {  
         更新边界到curMax + nums[index]
     } else if (nums[index] > curMax) {  //边界不含curMax本身
		 补充curMax元素，更新边界curMax到curMax*2
	 } else if(nums[index] == curMax) { //nums[index]自己就是边界点
	     更新边界curMax到curMax*2 (因为相等，也可以表达为nums[index] + curMax)
	 }
}

简化后得如下代码：

    public int minPatches(int[] nums, int n) {
        long curMax = 1;
        int index = 0;
        int res = 0;
        
        while (curMax <= n) {
            if (index >= nums.length || nums[index] > curMax) {
                res ++;
                curMax *= 2;
            } else {
                curMax += nums[index];
                index ++;
            }
        }
               
        return res;
    }