M斐波那契数列(hdu4549矩阵二分幂+二分快速幂)

最新推荐文章于 2019-06-05 20:07:58 发布

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本文介绍了一种特殊的斐波那契数列M的计算方法，该数列定义为F[0]=a,F[1]=b,F[n]=F[n-1]*F[n-2]。通过矩阵快速幂和快速幂算法高效地求解F[n]的值，并利用了数论中关于模运算的性质简化计算。

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题意：M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

思路：首先化简方程式，一般的矩阵处理的都是形如f[n] = f[n-1] + f[n-2]的式子，根据F[n] = F[n-1] * F[n-2]，F[n-1] = F[n-2] * F[n-3]。带入化简最后得到

f[n] = f[1] ^F[n] * f[0] ^ F[n-1];

f[1] ^F[n] ，f[0] ^ F[n-1] 可以用二分快速幂求，

F[n]代表第n个数的斐波那契数列可用矩阵二分幂求

本题还用到了一个数论：

A^B %C 这题的C是质素，而且A，C是互质的。

所以直接A^(B%(C-1)) %C

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct Matrix
{
    long long row[2][2];
};
Matrix A,C,unit;
const int MOD = 1000000007;
void init()
{
    unit.row[0][0] = 1;unit.row[0][1] = 0;
    unit.row[1][0] = 0;unit.row[1][1] = 1;

    A.row[0][0] = 1;A.row[0][1] = 1;
    A.row[1][0] = 1;A.row[1][1] = 0;

    memset(C.row,0,sizeof(C.row));
    C.row[0][0] = 1;
    C.row[1][0] = 1;
}
Matrix Matrix_mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix sum ;
    memset(sum.row,0,sizeof(sum.row));
    int i,j,k;
    for(i = 0; i < 2; i++)
    {
        for(j = 0; j < 2; j++)
        {
            for(k = 0; k < 2; k++)
            {
                sum.row[i][j] += (a.row[i][k]*b.row[k][j]) % (MOD-1);
            }
        }
    }
    return sum;
}

Matrix quck_M(Matrix a,int n)
{
    Matrix B = unit;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            B = Matrix_mul(a,B);
        a = Matrix_mul(a,a);
        n = n >> 1;
    }
    return B;
}
long long quck_m(long long a,long long m)
{
    long long rec = 1;
    a = a % MOD;
    while(m)
    {
        if(m&1)
            rec = (rec%MOD) * (a % MOD)%MOD;
        a = (a%MOD)*(a %MOD);
        m = m >> 1;
    }

    return rec;
}
int main()
{
    int a,b,n;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!= EOF)
    {
        init();
        if(n == 0)
        {
            printf("%d\n",a);
            continue;
        }
        else if(n == 1)
        {
            printf("%d\n",b);continue;
        }
        else if(n == 2)
        {
            printf("%d\n",a*b%MOD);continue;
        }
        Matrix B = quck_M(A,n-2);
        B = Matrix_mul(B,C);

        long long aa = B.row[0][0];
        long long bb = B.row[1][0];


        long long count = (quck_m(a,bb)%MOD)*(quck_m(b,aa) % MOD) % MOD;
        printf("%lld\n",count);
    }
    return 0;
}