算法——矩阵快速幂 求第N个斐波那契数

本文介绍了一种利用矩阵快速幂方法高效计算斐波那契数列第N项的方法,尤其适用于N值非常大的情况。文章通过具体实例展示了如何将斐波那契递推公式转化为矩阵形式,并采用快速幂技巧减少计算复杂度。

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Fibonacci
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Description

In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1

Sample Output

0
34
626
6875

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

.

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

.


题意:给你一个求解第N个斐波那契数的公式。 让你求出Fn % 10000。




构造单位矩阵,然后就是矩阵快速幂了。


快速幂的思路就是:

设A为矩阵,求A的N次方,N很大,1000000左右吧。。。

先看小一点的,A的9次方

A^9

= A*A*A*A*A*A*A*A*A  【一个一个乘,要乘9次】

= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下统一,所以加上这句】

 = A*(A^2)^4 【A平方后,再四次方,还要乘上剩下的一个A,要乘6次】

= A*((A^2)^2)^2【A平方后,再平方,再平方,还要乘上剩下的一个A,要乘4次】


也算是一种二分思想的应用吧,1000000次幂,暴力要乘1000000次,快速幂就只要(log2底1000000的对数) 次,大约20次


//
//  main.cpp
//  斐波那契进阶
//
//  Created by 徐家兴 on 2017/10/9.
//  Copyright © 2017年 徐家兴. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 3
#define LL long long
#define MOD 10007

using namespace std;

struct Matrix
{
    LL a[MAXN][MAXN];
    int r, c;//行数 列数
};
Matrix ori, res;//初始矩阵 和 结果矩阵
void init()//初始化矩阵
{
    memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
    res.r = 2; res.c = 2;
    for(int i = 1; i <= res.r; i++)//构造单位矩阵
        res.a[i][i] = 1;
    ori.r = 2; ori.c = 2;
    ori.a[1][1] = ori.a[1][2] = ori.a[2][1] = 1;
    ori.a[2][2] = 0;
}
Matrix multi(Matrix x, Matrix y)
{
    Matrix z;
    memset(z.a, 0, sizeof(z.a));
    z.r = x.r, z.c = y.c;//新矩阵行数等于x矩阵的行数 列数等于y矩阵的列数
    for(int i = 1; i <= x.r; i++)//x矩阵的行数
    {
        for(int k = 1; k <= x.c; k++)//矩阵x的列数等于矩阵y的行数 即x.c = y.r
        {
            if(x.a[i][k] == 0) continue;//优化
            for(int j = 1; j<= y.c; j++)//y矩阵的列数
                z.a[i][j] = (z.a[i][j] + (x.a[i][k] * y.a[k][j]) % MOD) % MOD;
        }
    }
    return z;
}
void Matrix_mod(long long n)
{
    while(n)//N次幂
    {
        if(n & 1)
            res = multi(ori, res);
        ori = multi(ori, ori);
        n >>= 1;
    }
    printf("%lld\n", res.a[1][2] % MOD);
}
int main()
{
    long long N;
    while(~scanf("%lld", &N))
    {
        init();//初始化单位矩阵
        Matrix_mod(N);//矩阵快速幂
    }
    return 0;
}




### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指为奇 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函负责执行矩阵间的乘法并处理大整溢出问题[^4]。 - `power` 函则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契列 假设我们需要使用矩阵快速幂解第 \(n\) 斐波那契列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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