22、电磁场有限元方法中的误差分析与介质模型研究

电磁场有限元方法中的误差分析与介质模型研究

1. 误差估计基础

在电磁场的研究中，对于满足一定条件的情况，存在着重要的误差估计。当 (H(t), \nabla\times H(t) \in (H^{l + 1}(\Omega))^3)，其中 (0 \leq t \leq T) 时，有常数 (C = C(T, \epsilon_0, \mu_0, \omega_p, \nu, E, H))，它与时间步长 (\tau) 和有限元网格尺寸 (h) 无关，使得
[
\max_{1\leq n\leq M}(||E^n - E^n_h||_0 + ||H^n - H^n_h||_0) \leq C(\tau + h^l)
]
这里 (1 \leq l \leq k)，(k) 是 (U_h) 和 (V_h) 中基函数的次数。

若解不够光滑，对于最低阶的 Nédélec 单元（即 (U_h) 和 (V_h) 定义中 (k = 1)），在合理的正则性假设下，有如下估计：
[
\max_{1\leq n\leq M}(||E^n - E^n_h||_0 + ||H^n - H^n_h||_0) \leq C(\tau + h^{\alpha})
]
其中 (\frac{1}{2} < \alpha \leq 1)。

对于 Nédélec (H(\text{curl})) 协调立方单元，同样的误差估计 (9.185) 成立，其定义为：
[
U_h| K = (u_1, u_2, u_3) \in Q {k - 1,k,k} \times Q_{k,k - 1,k} \tim