4、有限元方法在电磁领域的应用与原理

有限元方法在电磁领域的应用与原理

1. 引言

在电磁领域，对于微波和光学组件、天线以及飞行器散射等问题的研究，常常需要对电磁场进行计算。在很多情况下，能够得到明确或封闭形式的场表达式是最理想的，但实际中大量的组件和结构无法通过这种方式求解，因此计算机分析变得十分必要。

有限元方法是一种应用广泛且成熟的技术，它在处理各种组件、几何形状和材料分布方面具有很强的通用性和灵活性。本文将先介绍加权残值法，这是一种基础且通用的方法，进而引出变分法，有限元方法正是基于变分法展开的。同时，还会探讨与之密切相关的有限差分法，并分析不同方法的优缺点。

许多实际的场问题，如沿直线传播的光束或无线电波，可以通过近似方法轻松求解，例如平面波或高斯光束。然而，在一些复杂情况下，如天线附近的近场、雷达散射截面的计算、空心金属波导、光学波导以及半导体器件等问题，就需要借助计算机方法进行精确分析。

2. 加权残值法

加权残值法是将麦克斯韦方程转化为适合用标准矩阵方法进行数值求解的通用方案，它是推导其他多种方法的基础。

为了简化描述，我们假设所有介质是线性且无损耗的，磁导率和介电常数是与时间无关的标量（即材料是各向同性的），并且导电介质之间的空间是均匀的。虽然这些限制条件可以去除，但会增加问题的复杂性。

精确了解某一区域内的电场或磁场通常需要无限量的数据，这在有限字长和存储容量的数字计算机上无法实现，因此必须进行近似处理。对于线性介质中的问题，这种近似通常会得到一个矩阵，从数学角度看，这相当于将无限维希尔伯特空间投影到有限欧几里得空间。

有多种方法可以实现这种投影，其中包括伽辽金法、矩量法和加权残值法，这三种方法