5、数论：整数的奇妙世界

数论：整数的奇妙世界

1. 整除性

在数论中，整除性是一个基础且关键的概念。当 (m > 0) 且 (n/m) 为整数时，我们称 (m) 整除 (n)，记作 (m \mid n)。若 (m) 不能整除 (n)，则记为 (m \nmid n)。

1.1 最大公约数与最小公倍数

最大公约数（gcd）和最小公倍数（lcm）是整除性中的重要概念。对于两个整数 (m) 和 (n)，它们的最大公约数 (gcd(m, n)) 是能同时整除 (m) 和 (n) 的最大整数，例如 (gcd(12, 18) = 6)。最小公倍数 (lcm(m, n)) 是满足 (m \mid k) 且 (n \mid k) 的最小正整数 (k)，如 (lcm(12, 18) = 36)。

计算最大公约数可以使用欧几里得算法，其递推公式为：
- (gcd(0, n) = n)
- 当 (m > 0) 时，(gcd(m, n) = gcd(n \bmod m, m))

例如，计算 (gcd(12, 18))：
- (gcd(12, 18) = gcd(6, 12) = gcd(0, 6) = 6)

欧几里得算法还可以扩展，用于找到满足 (m’m + n’n = gcd(m, n)) 的整数 (m’) 和 (n’)。以 (m = 12)，(n = 18) 为例，可得到 (6 = (-1) \cdot 12 + 1 \cdot 18)。

1.2 整除性的一些性质

• 若 (k \mid m) 且 (k \mid n)，则 (k \mid gcd(m, n))。 </