EOJ 1082 Easy to AC（枚举+二进制子集法）

题目

题意：判断非负整数 n (n<=1 000 000)能否表示为各不相同的非负数字的阶乘之和，比如9 = 1!+2!+3!

解题思路

由于这些非负数字可以不是相邻的，所以要枚举所有的组合，那么就可以用二进制取子集的方法。

利用二进制的“开关”特性枚举；
具体为：假设给定集合A大小为n，则想象A = {a[0], a[1], …, a[n-1]}的每个元素对应一个开关位（0或1），0表示不出现，1表示出现；当每个元素的开关位的值确定时，就得到一个子集，因此共有2^n-1种情况（全0为空集）；
我们利用区间[1, 2^n-1]上的每个整数来对应每个子集，对应方法是：遍历该整数二进制表示的每一位，若该位为1则相应子集中存在对应元素，否则不存在。

在本题中，由于$n<=10^7$，而10! = 3628800，所以最多只需要考虑10以内的阶乘。

遍历$[1, 2^{10}-1]$中的每一个整数，对每个整数，检测该整数的每个二进制位，若该位为1则表示取其所在位置的阶乘累加。比如，1011表示sum=fac[0]+fac[1]+fac[3]=8.

需要注意的是：

• 提前打表可以节约后续的计算时间，即将所有满足题意的数先标记出来，判断时直接查询即可。
• 子集法中的0（空集）在本题属于特殊情况，因为0不能由其它数阶乘得到，但在枚举时中会被标记。

AC代码

#include <iostream>

using namespace std;
const int maxn = 1e7 << 1;

bool judge[maxn]; //打表判断i是否为阶乘之和
int fac[15]; //存放阶乘

void init()
{
    //计算阶乘
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10; ++i)
        fac[i] = fac[i-1] * i;
    //打表
    fill(judge, judge+maxn, false);
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < (1<<10); ++i) //二进制子集法，遍历2^10-1个子集
    {
        sum = 0;
        for (int j = 0; j < 10; ++j) //移位检测1出现的位置
            if (i & (1<<j))
                sum += fac[j];
        judge[sum] = true;
    }
    judge[0] = false; //特殊：0不是阶乘之和！
}

int main()
{
    int n, m;
    init();
    while (cin >> n && n >= 0)
    {
        if (judge[n]) cout << "YES" << endl;
        else cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}