11、流场分析：从基础方程到数值模拟

流场分析：从基础方程到数值模拟

1. 流场基础与守恒方程

在流场的研究中，我们首先要了解一些基础的变换和守恒方程。在拉格朗日域中，由于积分和微分算子的线性性质，且该域随物质运动，所以不需要额外的项。而在欧拉背景下，时间导数需要考虑随时间变化的域 $\Omega(t)$，通过添加表面通量项来实现，利用高斯积分定理可将其表示为体积项，即：
[
\frac{D}{Dt}\int_{\Omega(t)} f d\Omega = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial}{\partial t} f d\Omega + \int_{\Gamma (t)} f \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d\Gamma = \int_{\Omega(t)} \left( \frac{\partial}{\partial t} f + \nabla \cdot (f\mathbf{v}) \right) d\Omega
]

流场的基本方程包括质量、动量和能量守恒方程，结合本构方程和状态方程，可推导出一组完整的偏微分方程。

1.1 质量守恒

物体的质量 $m$ 是其密度 $\rho$ 的体积积分，即 $m = \int_{\Omega(t)} \rho(\mathbf{x}, t) d\Omega$。质量守恒表明，在没有源或汇的情况下，物体的质量随时间保持不变。对于单个流体元素，在欧拉系统中，利用雷诺输运定理可得：
[
\frac{Dm_i}{Dt} = \int_{\Omega_i} \frac{\partial \rho}{\partial t} d\Omega + \int_{\Ga