9、机械场数值计算与锁定问题解决方案

机械场数值计算与锁定问题解决方案

1. 几何非线性情况

在考虑弹性体的平衡方程（包括平移和旋转）时，可推导出机械场的偏微分方程。对于静态情况，有如下方程：
[
\nabla \cdot [\sigma] + f_V = 0
]
[
u = u_e \quad \text{on } \Gamma_e
]
[
[\sigma]^T n = \sigma_n \quad \text{on } \Gamma_n
]
其中，([\sigma]) 表示机械应力张量，(f_V) 是体积力，(u) 是机械位移。但此方程仅适用于线性力学，因为它混合了变形构型（如柯西应力张量 ([\sigma])）和初始构型（如机械体积力 (f_V)）中定义的量。

为解决这个问题，需将柯西应力张量 ([\sigma]) 从变形构型转换到初始构型：
[
\int_{\Gamma} [\sigma] d\Gamma = \int_{\Gamma_0} |J| [\sigma] [F_d]^{-T} d\Gamma_0 = \int_{\Gamma_0} [\tau] d\Gamma_0
]
这里，([\tau]) 是第一 Piola - Kirchhoff 张量，它是非对称的。因此，引入第二 Piola - Kirchhoff 张量 ([T])，它无物理应力意义，但具有对称性，计算式为：
[
[T] = [F_d]^{-1} [\tau] = |J| [F_d]^{-1} [\sigma] [F_d]^{-T}
]
这样，原方程可重写为：
[