3、有限元方法：原理、应用与实现

有限元方法：原理、应用与实现

1. 有限元方法概述

有限元（FE）方法是一种强大的数值技术，用于求解偏微分方程（PDE）。它通过将连续的物理问题离散化为有限数量的单元，从而将偏微分方程转化为代数方程组。其基本流程如下：

1.1 主要步骤

• 从偏微分方程的强形式出发，通过与测试函数相乘并积分，得到弱（变分）形式。
• 应用伽辽金近似方法，使用有限元对弱形式进行离散化，得到代数方程组。
• 对整个计算域进行离散化，二维问题使用三角形或四边形有限元，三维问题使用四面体或六面体有限元。

1.2 流程图

graph LR
    A[强形式的PDE] --> B[乘以测试函数并积分]
    B --> C[弱（变分）形式]
    C --> D[伽辽金近似]
    D --> E[代数方程组]
    F[计算域] --> G[离散化]
    G --> H[有限元]

2. 有限元公式推导

2.1 初始 - 边界值问题的强形式

考虑如下偏微分方程：
[
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \nabla u + f & (r, t) \in \Omega \times (0, T) \
u = u_e & \text{on } \Gamma_e \tim