19、量子认知与理性：共同知识与奥曼定理的量子形式化

量子认知与理性：共同知识与奥曼定理的量子形式化

1. 量子世界状态

在类量子模型中，“世界状态”由纯态表示。复希尔伯特空间 $H$ 中的单位球面 $S^1(H)$（忽略相位因子）代表了所有可能的世界状态。

2. 主体的量子信息表示

主体提出的问题在数学上由厄米算符描述，记为 $A^{(i)}$。事件（命题）与正交投影算符相对应。对于世界状态 $\psi$，若 $\psi$ 属于 $H_P$，则事件 $P$ 发生（发生概率为 1）。

为简化讨论，考虑世界状态空间为有限维的情况，即 $m = \dim H < \infty$。每个厄米算符可表示为其特征子空间的正交投影算符的线性组合，主体的问题可表示为：
[A^{(i)} = \sum_{j} a_{j}^{(i)} P_{j}^{(i)}]
其中，$(a_{j}^{(i)})$ 是实数，是 $A^{(i)}$ 的所有不同特征值；$(P_{j}^{(i)})$ 是对应特征子空间的正交投影算符。$(a_j)$ 编码了第 $i$ 个主体问题的可能答案。投影算符系统 $P^{(i)} = (P_{j}^{(i)})$ 是 $A^{(i)}$ 的谱族，对于任何主体 $i$，它是一个“单位的不相交划分”：
[\sum_{k} P_{k}^{(i)} = I, \quad P_{k}^{(i)} \wedge P_{m}^{(i)} = 0, \quad k \neq m]
这等价于算符等式：
[\sum_{k} P_{k}^{(i)} = I, \quad P_{k}^{(i)} P_{m}^{(i)} = 0, \quad k \neq m]