61、基于线性码的通用完美安全消息传输

基于线性码的通用完美安全消息传输

1. 对手结构与路径分析

对手结构 A 具有特定性质：对于每个集合 A ∈ 2P，如果存在两个节点 v1, v2 ∈ A 且 v1, v2 ∈ Li（1 ≤ i ≤ τ），那么 A ∉ A；否则 A ∈ A。这意味着对手 E 最多能控制每一层的一个节点。

在图 G2 中，发送者 S 和接收者 R 是 2A - 连通的，但移除任意一条边后，它们就变成 2A - 分离的。关键路径 |W ∗| = 3τ，因为关键路径是每层恰好有一个节点的所有路径。可以发现，|W ∗| 相对于网络规模（9τ - 3）是指数级的。

由于不同连通性相同的图中路径数量差异显著，若通过图中的路径执行 PSMT 协议，无法根据网络规模确定其传输复杂度（TC），因此需要根据关键路径数量来确定 TC，这就需要对对手结构进行重新刻画。

一般来说，对手结构中的参与者被视为网络图中的节点，记为 AV。给定关键路径集合 W，定义新的对手结构 AW，使得 |AW| = |AV|，并且对于每个 AV ∈ AV，都有一个对应的 AW ∈ AW，其中 AW 由 W 中经过 AV 中节点的所有路径组成。显然，如果 S 和 R 是 dAV - 连通的，那么它们在 W 上是 dAW - 连通的。后续将使用 AW 作为对手结构，即 A = AW，对手结构的参与者是网络图的关键路径。

2. 对先前结果的改进

设 n = |W| 为关键路径的数量，A 是关于这 n 条路径的对手结构。先前的协议对 PSMT 有不同的刻画，因此直接比较它们的 TC 与当前结果并不容易，需要比较决定协议 TC 的三个参数 (n, |A|, h)。虽然不知道 h 的严格上