51、更快的全同态加密技术解析

更快的全同态加密技术解析

1. 同态加密基础运算性质

对于 $\psi_1 = \pi_1 + i_1 \bmod B_{pk}^J$ 和 $\psi_2 = \pi_2 + i_2 \bmod B_{pk}^J$，其中 $i_1, i_2 \in I$，有 $\psi_1 + \psi_2 \bmod B_{pk}^J \in (\pi_1 + \pi_2)+I$ 以及 $\psi_1 \times \psi_2 \bmod B_{pk}^J \in (\pi_1 \times \pi_2)+I \bmod B_{pk}^J$。不过，为确保这些新密文能正确解密，需满足 $|\left(\pi_1 + i_1\right) + \left(\pi_2 + i_2\right)|, |\left(\pi_1 + i_1\right) \times \left(\pi_2 + i_2\right)| \leq r_{Dec}$，这限制了能进行同态求值的多项式的次数。由于对 $J$ 的选择，模 $B_{pk}^J$ 约简后的密文实际上是模 $\det(J)$ 的整数，所以模 $B_{pk}^J$ 的同态求值可归结为模 $\det(J)$ 的整数运算。

2. 改进的 somewhat 同态方案

Gentry 对 SomHom 方案进行了调整，得到 SomHom′ 方案，该方案在密钥生成和解密算法上与原方案不同：
- KeyGen′(λ) ：运行 KeyGen(λ) 得到 $(B_{sk}^J, B_{pk}^J)$，从 $B_{sk}^J$ 计算向量 $v_{sk}^J \in J^{-1}$，使得 $P(\text{rotf}(v_{