45、短非交互零知识证明：原理与创新

短非交互零知识证明：原理与创新

1. 引言

零知识证明由 Goldwasser、Micali 和 Rackoff 提出，是一种交互式协议，能让证明者在不泄露除陈述为真之外任何信息的情况下，使验证者相信陈述的真实性。随后，Blum、Feldman 和 Micali 引入了非交互零知识（NIZK）证明，证明者只需输出一个消息（即证明），就能让验证者相信陈述的真实性。

零知识证明和非交互零知识证明的核心属性包括：
- 完备性：若陈述为真，证明者应能使验证者信服。
- 可靠性：若陈述为假，恶意证明者无法使验证者信服。
- 零知识性：恶意验证者除了知道陈述为真外，学不到其他信息。

本文聚焦于电路可满足性这一 NP 完全语言，陈述是一个二进制电路 C，以及存在一个输入（见证 w）使得电路在该输入下输出 1 的声明。证明者拥有见证 w 作为私有输入，而陈述 C 是公开的，证明者和验证者都知晓。

在无任何设置的普通模型中，只有 BPP 中的语言才有非交互零知识证明。因此，Blum 等人提出了公共参考字符串模型，证明者和验证者可以访问一个可信的位串。该公共参考字符串可以由可信第三方生成，也可以由一组执行多方计算协议的参与方生成。此外，Groth 和 Ostrovsky 提出了多字符串模型下的 NIZK 证明。本文采用公共随机字符串模型，其中公共参考字符串是一个可信的均匀随机位串。

NIZK 证明有广泛的应用，从早期的选择密文安全公钥密码系统到近期的高级签名方案。因此，许多研究致力于构建和优化 NIZK 证明。例如，Blum 等人基于与因式分解相关的数论假设提出了适用于所有 NP 问题的 NIZK 证明；Feige 等人基于陷门置