【位运算符】爆肝整理！C++位运算从入门到精通（面试必背），原反补+奇技淫巧，手撕算法题就靠它！

C++ 位运算符全扩展技巧（面试必背）

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一、基础位运算符回顾

原码，反码，补码

数值	原码	反码	补码
+5	0000 0101	0000 0101（正数与原码相同）	0000 0101（正数与原码相同）
-5	1000 0101（最高位1表示负，和+5同）	1111 1010（符号位不变，其余位取反）	1111 1011（反码 + 1）
0	0000 0000 或 1000 0000（存在+0和-0）	0000 0000 或 1111 1111（同样两个0）	0000 0000（唯一零，-0的补码也是0）

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1. 对于正数和**+0**

• 原码 = 反码 = 补码（符号位为0，数值位不变）。

内存中，数字以32位数存储

原反补的关系

原码：二进制数字，前面加上1（负数）或0（整数）

反码：原码除了表示正负号的第一位不变，其他都取反

补码：反码+1➡️内存中储存并使用的形式**（-1是全1）**

对于负数：补码和原码相互是取反加一的关系，当然，第一位代表符号，不看

1. 有符号整型（signed int)
   1. 整数：原反补相同
   2. 负数：原反补都不同
2. 无符号整型(unsigned int)：都相同

6的原码，反码，补码：000000000000000000000110

3的原码，反码，补码：000000000000000000000011

-5的原码：100000000000000000000101

-5的反码：111111111111111111111010

-5的补码：111111111111111111111011

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运算符	名称	运算规则	例子（十进制）	例子（二进制）
&	按位与	全 1 为 1，有 0 为 0	6 & 3 = 2	110 & 011 = 010
`	`	按位或	有 1 为 1，全 0 为 0	`6
^	按位异或	相同为 0，相异为 1	6 ^ 3 = 5	110 ^ 011 = 101
~	按位取反	0 变 1，1 变 0	~6 = -7	补码表示
<<	左移	所有位左移 n 位，低位补 0	6 << 1 = 12	110 << 1 = 1100
>>	右移	所有位右移 n 位，高位补符号位	6 >> 1 = 3	110 >> 1 = 011

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二、⭐ 判断

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1.判断奇偶

• 判断最后一位是0是1

bool is_odd(int x) 
{
    return x & 1;
}

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2. 判断 2 的幂

• 判断一个数的二进制位是否只有一个1

bool is_power_of_two(int x) 
{
    return x > 0 && (x & (x - 1)) == 0;
}

• 例子：8 & 7 = 0（是），6 & 5 = 4（不是）
• 原理：2 的幂的二进制只有一个 1，减 1 后所有低位都变成 1，与运算结果为 0
• 对应 LeetCode：231. 2 的幂

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3. 判断 符号是否相同

• 整体数字异或，只看结果的符号位：同0（正数）异1（负数）

bool same_sign(int x, int y) 
{
    return (x ^ y) >= 0;
}

• 例子：3 ^ 5 = 6 >= 0（同号），3 ^ (-5) = -8 < 0（异号）

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4. 判断第 n 位是否为 1（n 从 0 开始计数）

bool is_bit_set(int x, int n) 
{
    return (x >> n) & 1;
}

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三、⭐ 修改

1. 置 1

int set_bit(int x, int n) {
    return x | (1 << n);
}

• 例子：set_bit(4, 1) = 6（100 | 010 = 110）

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2. 置 0

int clear_bit(int x, int n) 
{
    return x & ~(1 << n);
}

• 例子：clear_bit(6, 1) = 4（110 & 101 = 100）

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3. 翻转

• 异或：同0异1

int toggle_bit(int x, int n) {
    return x ^ (1 << n);
}

• 例子：toggle_bit(6, 0) = 7（110 ^ 001 = 111）

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4. ‼️ 把最低位的 1置0

int clear_lowest_one(int x) 
{
    return x & (x - 1);
}

• 例子：6 & 5 = 4（110 → 100，最低位的 1 被清零）

• 核心用途：

  • 统计二进制中 1 的个数
  • 判断 2 的幂
  • 求最大公约数

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5. 保留最低位的 1，其他位全部清零

// 注意：用long long避免INT_MIN溢出
long long get_lowest_one(long long x) 
{
    return x & (-x);
}

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例子 1：正数 6（二进制 0110）

x = 6       → 0000 0110
（补码：~6 + 1 = 1111 1001 + 1 = 1111 1010）
（-x补码：  ~（-6） + 1 =  ~（1000 0110）+1    =   1111 1001 + 1           = 1111 1010）
-x = -6     → 1111 1010 
x & (-x)    → 0000 0010 = 2

✅ 结果是 2，正好是 6 最低位的 1（第 1 位）

x = 12      → 0000 1100
（-x补码：  ~（-12） + 1 =  ~（1000 1100）+1    =     1111 0011 + 1      = 1111 0100）
-x = -12    → 1111 0100
x & (-x)    → 0000 0100 = 4

✅ 结果是 4，正好是 12 最低位的 1（第 2 位）。

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x = -6      → 1111 1010 
（-x补码：  就是6 ）
-x = 6      → 0000 0110
x & (-x)    → 0000 0010 = 2

✅ 结果还是 2，和正数 6 一样，因为最低位的 1 的位置没变。

• 例子：6 & (-6) = 2（110 → 010）

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为什么必须用 long long？

（INT_MIN 的坑）

int的最小值是INT_MIN = -2147483648，它的二进制是1000 0000 ... 0000（只有最高位是 1）

x = INT_MIN → 1000 0000 ... 0000
-x = 2147483648 → 这个数超过了int的最大值（2147483647），溢出了！

溢出在 C++ 里是未定义行为，不同编译器结果不一样。用long long就不会有这个问题，因为 long long 的范围大得多。

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6. ‼️交换两个整数

void swap(int& a, int& b) 
{
    a ^= b;
    b ^= a;//相当于b ^ a ^  b结果是 a
    a ^= b;//相当于a ^ a ^  b结果是 b
}

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四、数学

1. 乘 2 的 n 次方

int multiply_by_power_of_two(int x, int n) 
{
    return x << n;
}

• 例子：3 << 2 = 12（3 * 4 = 12）

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2. 除以 2 的 n 次方（仅适用于正数）

int divide_by_power_of_two(int x, int n) 
{
    return x >> n;
}

• 例子：12 >> 2 = 3（12 / 4 = 3）
• 坑：负数右移是算术右移，结果和除法不同（-5 >> 1 = -3 而不是 -2）

-5的二进制：1111 1011
算术右移1位：1111 1101 = -3

而数学上 -5 / 2 = -2.5，向零取整是-2。

✅ 所以 -5 >> 1 = -3，不等于 -5 / 2 = -2。

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3. 对 2 的 n 次方取模

x % (2^n)

int mod_power_of_two(int x, int n) 
{
    return x & ((1 << n) - 1);
}

• 例子：10 % 4 = 2 → 10 & 3 = 2
• 原理：2 的 n 次方减 1 的二进制是 n 个 1，与运算就相当于取后 n 位

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4. 求整数的绝对值（不用 if 分支）

int abs(int x) 
{
    int mask = x >> 31;
    return (x ^ mask) - mask;
}

• 原理：
  • 正数的 mask 是 0，结果还是 x；
  • 负数的 mask 是 - 1（全 1），
    • (x ^ mask)取反：x ^ (-1) 相当于按位取反
    • (x ^ mask) - mask;**加一：**减 - 1 相当于加 1，就是补码转原码

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五、算法类技巧（面试高频）

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1. 二进制中 1 的个数

用到了上面的‼️ 把最低位的 1置0

int count_ones(int x) 
{
    int count = 0;
    while (x) {
        x &= x - 1; // 每次清零最低位的1
        count++;
    }
    return count;
}

• 时间复杂度：O (k)，k 是 1 的个数，比循环 32 次快得多

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2. 加法

int add(int a, int b) 
{
    while (b) 
    {
        int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 计算进位
        a ^= b; // 无进位加法
        b = carry;
    }
    return a;
}

• 原理：

  • 异或 ^ 做无进位加法
  • 与 & 左移 1 位做进位
  • 循环直到进位为 0

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3. 缺失的数字

所有出现两次的数都会抵消，剩下的就是缺失的数

int missingNumber(vector<int>& nums) 
{
    int res = nums.size();
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) 
    {
        res ^= i ^ nums[i];
    }
    return res;
}

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4. 只出现一次的数字系列

• 一个数出现一次，其他出现两次：全部异或
• 两个数出现一次，其他出现两次：先全部异或，再用最低位的 1 分组异或
• 一个数出现一次，其他出现三次：统计每一位 1 的个数，模 3

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七、重要注意事项（必看坑）

1. 有符号数右移是算术右移：高位补符号位，负数右移结果和除法不同
2. 左移溢出是未定义行为：不要左移超过类型的位数
3. 1 << n 是 int 类型：需要 64 位时用 1LL << n
4. x & (-x) 对 INT_MIN 有效：但结果是 INT_MIN 本身，必须用 long long 避免溢出

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面试必背速查表

常用技巧	核心公式	主要用途
判断奇数	x & 1	所有需要判断奇偶的地方
清零最低位的 1	x & (x - 1)	统计 1 的个数、判断 2 的幂
保留最低位的 1	x & (-x)	分组、树状数组
统计 1 的个数	Brian Kernighan 算法	位运算基础题
不用临时变量交换	异或三次	面试经典题
不用加减乘除加法	异或 + 与左移	面试高频题

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