1. 和式1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1) = n^22. 五边形数五边形数的几何形式如下： 如何计算 P100P100P_{100}？将各个图形中的点拆分成如下左右两个部分： P1=0+1P1=0+1P_1=0+1P2=1+(1+3)P2=1+(1+3)P_2=1+(1+...

Efficient program to print all prime factors of a given numberimport mathdef number_factorize(num): prime_factors = [] # 如果整数为偶数，其素因子为 2 的个数； while num % 2 == 0: prime_factors...

（多项式的）因式分解定理（factor theorem）是多项式剩余定理的特殊情况，也就是余项为 0 的情形。0. 多项式长除法（Polynomial long division）Polynomial long division - Wikipedia 1. 因式分解定理Factor theorem该定理表达的是，多项式 f(x)f(x) 存在因子 x−kx-k 当且仅当 f(k)=0f(k

亲和数（amicable number） 由费马发现，亲和数指的是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派给出了一非凡的发现，220 和 284 是亲和数。220 的因数为：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，和为 284;284 的因数为：1, 2, 4, 71, 142，和为 220；也正是凭借着这一奇妙的性质，220 和 284

220 与 284220：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220 284：1, 2, 4, 71, 142, 284而把这些除了数本身的因子加起来，220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 220=1+2+4+71+142 : 284

对正整数 xx，记 π(x)\pi(x) 为不大于 xx 的素数个数。第 nn 个素数 p(n)p(n) 的渐进估计为，p(n)∼nlnnp(n)\sim n\ln n，它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是 1/lnn1/\ln n（也即 nn 个整数，素数的个数大概会有，一个十分粗糙的估计，nlnnn\ln n）。 这定理的式子於 1798 年法

十进制研究1. ab 与 ba、abc 与 cba

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名 Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 （1814–1894）的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429

1. 全部正约数、负约数；

被 6 整除，也即具有 2 和 3 的因子，具有 2 的因子说明为偶数具有 3 的因子说明各位之和能被 3 整除 10≡1mod310n≡1mod310n−1|3 \begin{split}& 10\equiv1\mod 3\\& 10^n\equiv1\mod 3\\&10^n-1|3 \end{split} 而任意一个多位数（十进制位值系统） abc， 都可描述为加和的形式，ab

1. 常见定义规范小数：若一个有尽小数 a0.a1a2…apa_0.a_1a_2…a_p 在第 k 位之后不全为 0 或 9，则称其为规范小数。

被 7 整除的数 被 9 整除1. 被 5 整除的数的特点个位数字是 0/5换句话说，个位数字是 0/5 的数，都存在 5 的因子；

无理数也是无穷无尽的，它们比起有理数来得多得多。1. 从 2√\sqrt 2 开始我们从 2√\sqrt 2 开始，就可以构造无穷多个无理数：1+2√1+\sqrt 2，2+2√2+\sqrt 2，3+3√3+\sqrt 3，…\ldots，也都是无理数；22√2\sqrt 2，32√3\sqrt 2，42√4\sqrt 2，…\ldots，也都是无理数；12+2√\frac12+\sqrt

1. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1…简单地，1, -1, 1, -1, 1, -1…，其通项为，(−1)n+1(-1)^{n+1}an=1+(−1)n+12a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}2

1. an−1a^n-1an−1=(a−1)[1+a+a2+⋯+an−1]a^n-1=\left(a-1\right)\left[1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}\right]1+a+a2+⋯+an−1=an−1a−11+a+a^2+\cdots+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}

1. 定义2n−12^n-1 这种形式的素数就是梅森素数，2n−1=11…1n−12^n-1=\underbrace{11\ldots 1}_{n-1}2. 举例3=22−13=2^2-17=23−17=2^3-131=25−131=2^5-1127=27−1127=2^7-13. 相关证明（1）如果 2n−12^n-1 是素数（梅森素数），则 nn 也是素数。nn

完全数是等于其真因子之和的数；（正整数 NN 的真因子是除了 NN 以外的全部正整数因子，注意：1 是 NN 的真因子）1. 欧几里得和欧拉的贡献欧几里得：如果 2n−12^n-1 是一个素数，则 2n−1(2n−1)2^{n-1}(2^n-1) 是一个完全数； 欧拉证明：每一个偶完全数必定是这种形式；n=2n=2 ⇒ 6=1+2+36=1+2+3n=3n=3 ⇒ 28=1+2+4+7+14

以 2 为底的指数天然地与二进制相关。1+2+⋯+2n=2n+1−11+2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1或者说：2n+1=(1+2+⋯+2n)+1 2^{n+1}=\left(1+2+\cdots+2^n\right)+1 与二进制的关系是：1+2+⋯+2n−1=11…1n=2n−11+2+\cdots+2^{n-1}=\underbrace{11\ldots

203=7×29203=7\times 29

傅利曼数：能够仅用其所包含的数字通过四则运算和乘方五种运算得出自身结果的整数。25⇒5225 ⇒ 5^2121⇒112121 ⇒ 11^2125⇒51+2125 ⇒ 5^{1+2}126=21×6126=21\times 6127=27−1127=2^{7}-1128=28−1128=2^{8-1}153=3×51153=3\times 51216=62+1216=6^{2+1}2

整数、区间与区间端点 整数、区间与区间端点 （二）1. 单端点的情况 单端点的情况下，终点减去起点（而不加 1）。（1）银行的排队系统比如当前叫到 25 号，你是 30 号，则共需经历 30-25 = 5（25\26\27\28\29） 五个人的服务时间（当然会分开在不同的窗口）。

韩信点兵的故事，韩信每次集合部队，只要求部下先后按 1-3，1-5，1-7 报数（其实也不必报数，这么慢的方法，而是通过三人一行得除 3 得到的余数，再五人一行得除 5 得到的余数，最后七人一行得除 7 得到的余数），然后再根据报告一下各队每次报数的余数，就知道到了多少人。这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或成为韩信点兵，外国人称其为“中国剩余定理”（剩余大概就是余数的意思）。到了明代，数学

一、重复自身两次1. 对于一位数 aaa×11=a×(101+1)=aaa\times 11=a\times (10^1+1)=aa2. 对于二位数 ababab×101=ab×(102+1)=ababab\times 101=ab\times (10^2+1)=abab3. 对于三位数 abcabcabc×1001=abc×(103+1)=abcabcabc\times 1001=abc

def primes(n): x, l = 2, [] while True: if x > n: break if n % x == 0: n //= x l.append(x) x -= 1 x += 1 return l>> p

1. 基本性质（1）除 1 之外的所有数的阶乘都是偶数。（2）≥5\geq 5 的阶乘末尾至少一个 0 （3）≥6\geq 6 的阶乘都能被 9 整除，阶乘的各位数字之和也能被 9 整除

数论基本定理1. 被 3/9 整除各位之和是否能被 3/9 整除2. 被 5 整除个位数是否为 5/03. 被 2/4/8 整除2：最后 1 位是否能被 2 整除4：最后 2 位是否能被 4 整除8：最后 3 位是否能被 8 整除应用20!=1×2×3×⋯×20=24329020081△664000020!=1\times 2\times 3\times \cdots\times 20=2

1. 九九乘法表告诉我们的 如果知道两数乘积的结果，可根据其中一个数的个为的数，猜测出来另外一个数个位的数，进而推测出进位的情况。

1. 基本性质1.1 奇数个因子除完全平方数外，一般的整数的因子都是偶数个（包括 1 和它自身）。道理是显然的，因子一般是成对出现的，只有当该数是完全平方数时，其二次方根只有孤单的一个。2. 典型计算100 以内的完全平方数：102=10010^2=100，共 10 个（1、2、3、4、5、6、7、8、9、10）500-1000 内的完全平方数：500−−−√<23,1000−−−−√<32\sq

整除运算与取模运算 时钟、取模与环 周期与取模运算有着天然的联系。一天：24 小时一周：7 天一年：12 个月天干：10 个地支：12 个时区：24 个生肖：12 个1. 与 12 有关的一年：12 个月地支：12 个生肖：12 个金陵：12 钗

1. 基本性质只有平方数有奇数个因子（包括 1 和自身），而与是否为数本身的奇偶性无关。因为因子是成对出现的，除非是完全平方数。1：1，4：1、2、4，9：1、3、92：1、2，3：1、3

一年 360 天，一月 30 天，则一年 12 个月。如此计算是十分粗糙的。秦始皇统一六国之后，根据长期观测的数据，定一年为 36514365\frac{1}{4} 天，一月为 2949994029\frac{499}{940} 天。依据此结果颁布了统一的历法，叫颛顼历（zhuan xu，号高阳氏）。这样一年有： 651429499940=12719\frac{65\frac{1}{4}}{29

123=172812^3=1728

2 的 n 次幂 10n=10⋅10n−1=5⋅10n−1+5⋅10n−110^n=10\cdot 10^{n-1}=5\cdot10^{n-1}+5\cdot 10^{n-1}

1. 乘以 10d+110^d+1一个三位数乘以 1001 （103+110^3+1）： n×1001=n×(1000+1)=1000n+nn\times 1001=n\times \left(1000+1\right)=1000n+n123*1001 = 123(1000+1)=123123，等于把自己重复一遍；2. n⋅10d+1∼n⋅10d+nn\cdot 10^d+1\sim n\cd

2n=2⋅2n−1=2n−1+2n−12^n=2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}+2^{n-1}证明或推翻： a3+b4=c5a^3+b^4=c^5 没有正整数解。证：因为： 224+224=225⇒(28)3+(26)4=(25)52^{24}+2^{24}=2^{25} ⇒ \left(2^8\right)^3+\left(2^6\right)^4=\left(2^5\

素数的判断1. 899 是素数吗？试除就笨了。899=900−1=302−12=(30+1)(30−1)=31×29899=900-1=30^2-1^2=\left(30+1\right)\left(30-1\right)=31\times 29

1. 完全数与亏数、盈数1.1 完全数如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、1

1. 代数数有理系数代数方程的根称为代数数。确切地讲，一个代数数是指它是满足下述方程的数： xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an−1x+an=0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0其中 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n 为有理数代数数：所有有理数一部分无理数2. 超越数不是代数数的无理数即为超越数。即

最简分数 pq\frac pq （也即不存在公共因子），这样原来二者不会同时是偶数，但可能同时是奇数。

一个数能够开根号的前提是，其全部因子，必须成对出现（偶数次），而不可以是奇数次。一个偶数如果能够开根号（是偶数，则存在 2 的因子，因为能够开根，则其因子需成对出现），则其开根号的结果一定也是偶数；一个奇数如果能够开根号（不存在 2 ），则其开根号的结果一定也是奇数；