完全数

完全数是等于其真因子之和的数；（正整数 $N$ 的真因子是除了 $N$ 以外的全部正整数因子，注意：1 是 $N$ 的真因子）

1. 欧几里得和欧拉的贡献

欧几里得：如果 $2^n-1$ 是一个素数，则 $2^{n-1}(2^n-1)$ 是一个完全数；
欧拉证明：每一个偶完全数必定是这种形式；

• $n=2$ ⇒ $6=1+2+3$
• $n=3$ ⇒ $28=1+2+4+7+14$
• $n=5$ ⇒ $496=1+2+4+8++16+31+62+124+248$

2. 欧几里得与梅森素数

欧几里得这个著名公式还与一个有趣的故事相联系。传说，波斯王酷爱下棋，因而告诉棋（$8\times 8$）的发明者，他可以得到他想要的任何礼物。发明者提到了一个似乎适度的要求：

• 在棋盘的第一个方格中放 1 粒麦子；
• 在第二个方格中放 $2^1$ 粒麦子；
• 在第三个方格中放 $2^2$ 粒麦子；
• $\ldots$
• 直到第 64 个方格上需要 9223372036854775808L

共计：$2^{64}-1=18446744073709551615L$

从第 $n+1$ 个方格中取走 1 粒，剩余 $2^n-1$，这正是欧几里得公式中括号内的表达式。如果这个数是素数，则和之前一格 $2^{n-1}$ 的乘积， $2^{n-1}\left(2^n-1\right)$ ，就为完全数。

$2^n-1$ 这种形式的素数就是梅森素数，

$$2^n-1=\underbrace{11\ldots 1}_{n-1}$$

3. 完全数的因子

完全数的所有因子的倒数之和为 2：

$$\frac11+\frac12+\frac14+\frac17+\frac1{14}+\frac1{28}=2$$