洛谷P3662 [USACO17FEB] Why Did the Cow Cross the Road II S-队列-优快云博客

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P3662 [USACO17FEB] Why Did the Cow Cross the Road II S

题目描述

穿过 Farmer John 农场的长路上有 $N$ 个人行横道，方便地用编号 $\ldots N$ 标识（ $\leq N \leq 100,000$ ）。为了让奶牛能够通过这些横道过马路，FJ 安装了电子过马路信号灯，当奶牛可以安全过马路时，信号灯会显示绿色的奶牛图标，否则显示红色。不幸的是，一场大雷暴损坏了他的一些信号灯。给定损坏信号灯的列表，请计算 FJ 需要修复的最少信号灯数量，以便存在至少 $K$ 个连续的信号灯正常工作。

输入格式

输入的第一行包含 $N$ 、 $K$ 和 $B$ （ $\leq B, K \leq N$ ）。接下来的 $B$ 行每行描述一个损坏信号灯的 ID 编号。

输出格式

请计算需要修复的最少信号灯数量，以便在道路上某处存在一个长度为 $K$ 的连续正常工作信号灯块。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

解题思路

本题需要找到最少需要修复的信号灯数量，使得存在至少 K 个连续的正常工作的信号灯。核心思路是利用滑动窗口技术统计每个长度为 K 的连续子序列中的坏灯数量，并找出最小值。

关键步骤：

标记坏灯位置：使用布尔数组标记哪些灯是坏的。
滑动窗口统计：
- 初始化窗口：计算前 K 个灯中的坏灯数量。
- 移动窗口：每次向右移动一位，减去离开窗口的灯的状态，加上新进入窗口的灯的状态。
动态更新最小值：在窗口移动过程中，记录窗口内坏灯数量的最小值。

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int N, K, B;
    cin >> N >> K >> B;
    
    vector<bool> broken(N + 1, false); // 标记坏灯位置
    
    // 读入坏灯位置并标记
    for (int i = 0; i < B; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        broken[x] = true;
    }
    
    int current_broken = 0; // 当前窗口内的坏灯数量
    // 计算初始窗口 [1, K] 中的坏灯数量
    for (int i = 1; i <= K; i++) {
        if (broken[i]) {
            current_broken++;
        }
    }
    
    int min_repair = current_broken; // 初始化最小修复数量
    
    // 滑动窗口：从 K+1 到 N
    for (int i = K + 1; i <= N; i++) {
        // 移除窗口左边界元素（i-K 位置）
        if (broken[i - K]) {
            current_broken--;
        }
        // 添加新元素（i 位置）
        if (broken[i]) {
            current_broken++;
        }
        // 更新最小修复数量
        min_repair = min(min_repair, current_broken);
    }
    
    cout << min_repair << endl;
    
    return 0;
}

代码说明

输入处理：
- 读取信号灯总数 N、要求连续正常灯数 K、坏灯数量 B。
- 创建布尔数组 broken 标记坏灯位置。
初始窗口计算：
- 计算第一个窗口（位置 1 到 K）中的坏灯数量 current_broken。
- 初始化最小修复数量 min_repair = current_broken。
滑动窗口移动：
- 从位置 K+1 开始向右移动窗口：
  - 移除左边界元素：如果位置 i-K 是坏灯，则当前坏灯数减 1。
  - 添加新元素：如果位置 i 是坏灯，则当前坏灯数加 1。
- 每次移动后更新最小修复数量。
输出结果：打印需要修复的最小信号灯数量。

复杂度分析

时间复杂度：O(N)，只需遍历信号灯序列一次。
空间复杂度：O(N)，用于存储坏灯标记的数组。

示例解析

输入：10 6 5，坏灯位置：2, 10, 1, 5, 9
处理过程：

初始窗口 [1, 6]：坏灯位置 1, 2, 5 → 坏灯数 3。
窗口 [2, 7]：移除位置 1（坏），添加位置 7（好）→ 坏灯数 2。
窗口 [3, 8]：移除位置 2（坏），添加位置 8（好）→ 坏灯数 1（最小值）。
窗口 [4, 9]：移除位置 3（好），添加位置 9（坏）→ 坏灯数 2。
窗口 [5, 10]：移除位置 4（好），添加位置 10（坏）→ 坏灯数 2。

输出：1（最小修复数量）

解题思路

本题需要找到最少需要修复的信号灯数量，使得存在至少 K 个连续的正常工作的信号灯。核心思路是利用滑动窗口技术统计每个长度为 K 的连续子序列中的坏灯数量，并找出最小值。具体步骤如下：

标记坏灯位置：使用布尔数组标记哪些位置的灯是坏的。
滑动窗口统计：
- 使用队列存储当前窗口内的坏灯位置
- 当窗口移动时：
  - 检查队列头部是否是需要离开窗口的位置（i-K），如果是则出队
  - 如果新加入位置是坏灯，则将其入队
动态更新最小值：在窗口形成后（i≥K），记录队列大小（即当前窗口坏灯数）的最小值

C++代码实现

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int N, K, B;
    cin >> N >> K >> B;
    
    vector<bool> broken(N + 1, false); // 标记坏灯位置
    
    // 读入坏灯位置并标记
    for (int i = 0; i < B; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        broken[x] = true;
    }
    
    queue<int> q; // 存储当前窗口内的坏灯位置
    int min_repair = 1e6; // 初始化为大数
    
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        // 窗口移动：移除离开窗口的位置 (i-K)
        if (i > K) {
            if (!q.empty() && q.front() == i - K) {
                q.pop();
            }
        }
        
        // 如果当前位置是坏灯，加入队列
        if (broken[i]) {
            q.push(i);
        }
        
        // 当窗口形成时 (i >= K)，更新最小值
        if (i >= K) {
            min_repair = min(min_repair, (int)q.size());
        }
    }
    
    cout << min_repair << endl;
    
    return 0;
}

代码说明

输入处理：
- 读取信号灯总数 N、要求连续正常灯数 K、坏灯数量 B
- 创建布尔数组 broken 标记坏灯位置
滑动窗口管理：
- 使用队列 q 存储当前窗口内的坏灯位置
- 遍历每个信号灯位置 i (1 到 N)：
  - 移除过期位置：当 i > K 时，检查队头是否等于 i-K（离开窗口的位置），是则出队
  - 添加新位置：如果位置 i 是坏灯，则入队
  - 更新最小值：当 i ≥ K 时（窗口已形成），更新最小修复数量
输出结果：打印需要修复的最小信号灯数量