信息学奥赛一本通题目解析：1205：汉诺塔问题

原创已于 2024-05-26 11:13:23 修改 · 1.8k 阅读

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#算法 #信息学奥赛 #c++

于 2024-05-26 11:07:09 首次发布

【题目描述】
汉诺塔

约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到中间的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。

这是一个著名的问题，几乎所有的教材上都有这个问题。由于条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘上面，所以64个盘的移动次数是：18,446,744,073,709,551,615

这是一个天文数字，若每一微秒可能计算(并不输出)一次移动，那么也需要几乎一百万年。我们仅能找出问题的解决方法并解决较小N值时的汉诺塔，但很难用计算机解决64层的汉诺塔。

假定圆盘从小到大编号为1, 2, …

【输入】
输入为一个整数(小于20）后面跟三个单字符字符串。

整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

【输出】
输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。

每次移动的记录为例如 a->3->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。

【输入样例】
2 a b c
【输出样例】
a->1->c
a->2->b
c->1->b

【解题思路】

1. 什么是汉诺塔问题？

问题：你知道汉诺塔问题的基本规则吗？可以简要描述一下吗？
答案：汉诺塔问题是一种经典的递归问题，它涉及将一堆盘子从一个杆移动到另一个杆，同时遵循一定的规则：一次只能移动一个盘子，并且不能将大盘子放在小盘子上。

2. 基本规则是什么？

问题：在汉诺塔问题中，移动盘子时需要遵守哪些规则？
答案：在汉诺塔问题中，移动盘子时需要遵守以下规则：
1. 一次只能移动一个盘子。
2. 不能将大盘子放在小盘子上。

3. 递归的基本概念

问题：你了解递归的基本概念吗？递归如何用于解决问题？
答案：递归是一种解决问题的方法，其中函数通过调用自身来解决问题。对于汉诺塔问题，递归的关键在于将问题分解为更小的子问题，直到达到最基本的情况（只有一个盘子）。

4. 汉诺塔问题的递归解法

问题：你能解释一下如何使用递归来解决汉诺塔问题吗？
答案：可以通过递归来解决汉诺塔问题。当只有一个盘子时，直接将盘子从源杆移动到目标杆。当有多个盘子时：
1. 先将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆。
2. 将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆。
3. 最后将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆。

5. 递归的三个步骤

问题：
- 第一步，我们需要将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆。你知道这一步怎么做吗？
- 第二步，将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆。你知道怎么做吗？
- 第三步，将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆。你能解释一下这一步吗？
答案：
- 第一步：调用递归函数 hanoi(n-1, source, auxiliary, target)，将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆。
- 第二步：打印移动操作，将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆。
- 第三步：调用递归函数 hanoi(n-1, auxiliary, target, source)，将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆。

6. 如何实现递归函数

问题：你能写出一个递归函数 hanoi 来实现汉诺塔问题的解决方案吗？

答案：可以。递归函数 hanoi 的定义如下：

   void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary) {
       if (n == 1) {
           printf("%c->%d->%c\n", source, 1, target);
       } else {
           // 第一步：将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆
           hanoi(n-1, source, auxiliary, target);
           
           // 第二步：将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆
           printf("%c->%d->%c\n", source, n, target);
           
           // 第三步：将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆
           hanoi(n-1, auxiliary, target, source);
       }
   }

7. 递归函数的基本结构

问题：
- 递归函数 hanoi 的基本结构是什么样的？
- 当 n == 1 时，函数应该怎么做？
- 当 n > 1 时，函数应该怎么做？
答案：
- 递归函数 hanoi 的基本结构包括基本情况和递归步骤。
- 当 n == 1 时，直接打印移动操作：将盘子从源杆移动到目标杆。
- 当 n > 1 时，按照以下步骤：
  1. 调用 hanoi(n-1, source, auxiliary, target)，将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆。
  2. 打印移动操作，将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆。
  3. 调用 hanoi(n-1, auxiliary, target, source)，将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆。

8. 代码实现

问题：你能根据上述思路写出完整的代码吗？

答案：

   #include <cstdio>
   
   // 递归函数定义
   void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary) {
       if (n == 1) {
           printf("%c->%d->%c\n", source, 1, target);
       } else {
           // 第一步：将前 n-1 个盘子从源杆移动到辅助杆
           hanoi(n-1, source, auxiliary, target);
           
           // 第二步：将第 n 个盘子从源杆移动到目标杆
           printf("%c->%d->%c\n", source, n, target);
           
           // 第三步：将 n-1 个盘子从辅助杆移动到目标杆
           hanoi(n-1, auxiliary, target, source);
       }
   }
   
   int main() {
       int n;
       char source, target, auxiliary;
       scanf("%d %c %c %c", &n, &source, &target, &auxiliary);
       
       // 调用汉诺塔函数
       hanoi(n, source, target, auxiliary);
       
       return 0;
   }