信息学奥赛一本通题目解析：1316：【例4.6】数的计数(Noip2001)（递归法）

最新推荐文章于 2024-05-31 17:52:13 发布

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#算法 #动态规划

文章讲述了如何使用记忆化递归算法解决一个关于自然数的问题，即给定一个不超过1000的自然数n，计算可以通过在其左边添加不超过一半的自然数形成的所有不同数字的个数。通过初始化数组并避免重复计算，最终输出结果。

【题目描述】

我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：

不作任何处理；

在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；

加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。

【输入】

自然数n(n≤1000)。

【输出】

满足条件的数。

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

【样例解释】

满足条件的数为如下所示：

【解题思路】

基于记忆化递归的方法来解决问题。这个问题要求找出从1到n，每个数字通过在其左侧加上不超过自己一半的自然数，能够形成的所有不同数字的个数。具体到解题步骤和思路如下：

解题思路：

记忆化存储：使用一个全局数组a来存储每个数字m可以形成的不同数字的个数，初始时，所有元素都未被计算过，可以初始化为0。
递归定义：对于每个数字m，它本身至少可以形成一个不同的数字（即其自身），因此a[m]的初始值为1。然后，对于每个小于等于m/2的自然数i，尝试将i加到m的左侧，并计算i可以形成的不同数字的个数。
避免重复计算：在递归过程中，如果某个数字m已经被计算过（即a[m]大于0），则直接返回其值，避免重复计算。
递归求解：通过递归调用，对每个可能的i进行处理，将a[i]加到a[m]上，从而更新a[m]的值。
输出结果：最终，a[n]中存储的就是对于给定的自然数n，可以形成的所有不同数字的个数。

【代码实现】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 1001;
int a[MAX_N];

void num(int m) {
    if(a[m] > 0) return; // 如果已经计算过，直接返回
    a[m] = 1; // m本身构成一种情况
    for(int i = 1; i <= m / 2; i++) {
        num(i); // 计算i可以形成的不同数字的个数
        a[m] += a[i]; // 累加到a[m]上
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    num(n);
    cout << a[n] << endl;
    return 0;
}