∥x∥^2 是什么？ 什么是向量的范式？ 有什么用？

$\Vert x{\Vert }^2$ 这个符号表示的是一个向量 X 的范数（通常是欧几里得范数）的平方。

理解$\Vert x{\Vert }^2$：

1. 向量的欧几里得范数：

   • 对于一个向量 X$=[x1,x2,\dots ,xn]$，它的欧几里得范数（即二范数，$\Vert x\Vert$ ）定义为：
     
   • 欧几里得范数可以看作是向量在欧几里得空间中的长度。

2. 范数的平方：

   • $\Vert x{\Vert }^2$表示的是范数的平方，也就是：
     
   • 它表示的是向量每个分量的平方和，在几何上它等价于向量长度的平方。

举例：

假设我们有一个三维向量 x=[2,3,6]。

1. 首先计算它的欧几里得范数：
   
2. 范数的平方为：
   
   或者直接计算平方和：
   

应用：

在深度学习中，$\Vert x{\Vert }^2$ 常用于正则化项，如L2正则化（也叫权重衰减），它通过最小化权重的平方和来防止过拟合。