3D数学 学习笔记（11） 几何检测

3D数学 学习笔记（11） 几何检测

参考书籍：
《3D数学基础：图形与游戏开发》

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隐式直线上的最近点

任意点q，找到直线 p·n = d 上最近的点q’。

• d - d_M = d - q·n

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参数射线上的最近点

任意点q，找到射线上p(t) = p_org + td 最近点q’。直接点乘做投影即可。

• t = d·v = d·(q - p_org)

如果t是从0到1变化，计算t必须除以d的模：

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平面上的最近点

任意点q，找到平面p·n上最近的点q’。a为距离。

• p + an =q

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圆或球的最近点

任意点q，找到圆 || p - c || = r 上（边缘）最近点q’。

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AABB上的最近点

直接在判断xyz即可。

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2D中两条直线的相交性检测

即求解方程组：

三种情况：

• 一个解：分母不为0。
• 无解：分母为0，平行且不相交。
• 无穷多个解：分母为0，两线重合。

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3D中两条射线相交检测

同样解方程组，即 r₁(t₁) = r₂(t₂)。

三种情况：

• 一个解：分母不为0，即d1、d2叉乘不为0。注意如果两线不在同一平面，求的两个值是相距最近的点。
• 无解：分母为0，平行。
• 无穷多个解：分母为0，重合。
  

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射线和平面相交性检测

射线p(t) = p_o + td ， 平面p·n = d。

四种情况：

• t > l（射线长度）：不相交。
• l ≥ t ＞0：相交。
• t = 0：平行。
• t < 0：射线原点在面的背后，不相交。

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AABB和平面相交检测

AABB由p_min和p_max定义。判断和平面p·n = d相交，只需用平面法向量n点乘AABB的最大最小点即可。

三种情况：

• min >= d：AABB最小值都在平面之上，说明整个AABB都在平面之上（正面），不相交。
• max <= d：AABB在平面背面，不相交。
• 其余情况：相交。

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三个平面相交性检测

求解方程组即可。p为相交的点。

三种情况：

• 相交于一点：分母不为0。
• 不存在：分母为0，至少两个平面平行且不重叠。
• 无穷多个：分母为0，至少两个平面重叠。

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射线和圆/球的相交性检测

射线p(t) = p_o + td，d为单位向量，t范围：[0, l]。求的t为交点处的值。
如果根号内的值为负，则不相交。

两种情况：

• 相交：根号值为非负。
• 不相交：根号值 为负。

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两个圆/球相交性检测

静态测试：直接判断两圆心距离即可。即d² < (r1 + r2)²。

动态测试：两个球位移分别为d₁和d₂。简化问题，看成一个静止，另一个运动：位移为d₂ - d₁。

三种情况：

• ||e|| < r：球在 t = 0时就相交了（运动前两个就相交了）。
• t < 0 或 t > l：在时间段内不会相交。
• 根号值为负：两球不相交。

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球和AABB的相交性检测

先找到球心里AABB最近的点（见前面），最近点和球心距离d，比较d和球半径即可。

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球和平面的相交性检测

静态测试：直接判断球心和平面距离（见前面），加上一个球半径判断即可。

动态测试：球运动轨迹为c + td。c为圆心，d为方向，t从0变化到l。直接使用射线与平面交点公式（见前面）即可，不过要加上球半径r。

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