【动态规划-中等】62. 不同路径-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/kz_java/article/details/121914431

这篇博客探讨了一种经典的计算机科学问题，即计算一个机器人在给定网格中从左上角到达右下角的不同路径数。通过两种方法进行了解决：一种是动态规划，建立二维数组并逐层填充；另一种是利用组合数学，应用组合公式C(m+n-2, m-1)。示例展示了不同尺寸网格的路径计数，并提供了相应的Python代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目】
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

【代码】
【方法1：dp】
在这里插入图片描述

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp=[[1 for j in range(n)] for i in range(m)]
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

【方法2：数学法】
m*n个格子，从左上到右下移动，可以看成是m-1个向下指令和n-1个的向右指令的组合，由此引出组合公式：C(x,y)
在这里插入图片描述这道题只能向右或者向左，说明只会有两种情况¹

向右的数量和向下的数量的和是一定的
向右和向下 没什么区别

如果我们边长为 m,n,则有(m - 1)个向右 , (n - 1 )个向下得到最终的结果

转化为 有 （m-1） 个向下 ，我们需要把（ n - 1）个向右插入向下中，

注：因为m -1 有头尾 则有m个间隙

转化为 (n - 1) 个乒乓球 插入到编号为 (1到m) m个洞中，洞可以为空

转化为 有(n+m - 1) 个乒乓球 我们需要把它放入m个洞中，每个洞最少放一个

转化为 有 (n+m - 2) 个乒乓球间隙，放入 m -1 个挡板，把球分成m份，每份不能为空

那么得到我们最终的公式

C(m+n-2,m-1)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return math.comb(m+n-2,m-1)

UBK86JCV4a ↩︎