【动态规划-中等】62. 不同路径

【题目】
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

【代码】
【方法1：dp】

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp=[[1 for j in range(n)] for i in range(m)]
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

【方法2：数学法】
m*n个格子，从左上到右下移动，可以看成是m-1个向下指令和n-1个的向右指令的组合，由此引出组合公式：C(x,y)
这道题只能向右或者向左，说明只会有两种情况¹

向右的数量和向下的数量的和是一定的
向右和向下 没什么区别

如果我们边长为 m,n,则有(m - 1)个向右 , (n - 1 )个向下得到最终的结果

转化为 有 （m-1） 个向下 ，我们需要把（ n - 1）个向右插入向下中，

注：因为m -1 有头尾 则有m个间隙

转化为 (n - 1) 个乒乓球 插入到编号为 (1到m) m个洞中，洞可以为空

转化为 有(n+m - 1) 个乒乓球 我们需要把它放入m个洞中，每个洞最少放一个

转化为 有 (n+m - 2) 个乒乓球间隙，放入 m -1 个挡板，把球分成m份，每份不能为空

那么得到我们最终的公式

C(m+n-2,m-1)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return math.comb(m+n-2,m-1)

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1. UBK86JCV4a ↩︎