【题目】
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?
示例 1:
输入:m = 3, n = 7
输出:28
示例 2:
输入:m = 3, n = 2
输出:3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3:
输入:m = 7, n = 3
输出:28
示例 4:
输入:m = 3, n = 3
输出:6
提示:
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
【代码】
【方法1:dp】
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
dp=[[1 for j in range(n)] for i in range(m)]
for i in range(1,m):
for j in range(1,n):
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
return dp[-1][-1]
【方法2:数学法】
m*n个格子,从左上到右下移动,可以看成是m-1个向下指令和n-1个的向右指令的组合,由此引出组合公式:C(x,y)
这道题只能向右或者向左,说明只会有两种情况1
向右的数量和向下的数量的和是一定的
向右和向下 没什么区别
如果我们边长为 m,n,则有(m - 1)个向右 , (n - 1 )个向下得到最终的结果
转化为 有 (m-1) 个向下 ,我们需要把( n - 1)个向右插入向下中,
注:因为m -1 有头尾 则有m个间隙
转化为 (n - 1) 个乒乓球 插入到编号为 (1到m) m个洞中,洞可以为空
转化为 有(n+m - 1) 个乒乓球 我们需要把它放入m个洞中,每个洞最少放一个
转化为 有 (n+m - 2) 个乒乓球间隙,放入 m -1 个挡板,把球分成m份,每份不能为空
那么得到我们最终的公式
C(m+n-2,m-1)
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
return math.comb(m+n-2,m-1)