数学基础 -- 均方误差（Mean Squared Error, MSE）与交叉熵（Cross-Entropy）的数学原理

均方误差（Mean Squared Error, MSE）与交叉熵（Cross-Entropy）的数学原理

1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）

均方误差主要用于回归问题，度量预测值与实际值之间的平均平方差。其数学公式为：

$$\text{MSE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

• $n$：样本数量。
• $y_i$：实际值。
• ${\hat{y}}_i$：预测值。

原理：

1. 误差：首先计算每个样本的预测值与实际值之间的差，即 $y_i-{\hat{y}}_i$。
2. 平方：将误差进行平方，这样可以避免正负误差相互抵消，也使得较大的误差权重更大。
3. 平均：对所有样本的平方误差求平均值，以获得整体的误差。

均方误差的值越小，说明模型的预测结果越接近实际值。由于平方的原因，MSE 对异常值（outliers）较为敏感。

2. 交叉熵（Cross-Entropy）

交叉熵损失函数通常用于分类问题，度量两个概率分布之间的差异。其数学公式根据任务的不同，分为二分类交叉熵和多分类交叉熵。

二分类交叉熵损失

在二分类问题中，假设输出结果为类别 y∈{0,1}y \in \{0, 1\}y∈{0,1}，预测值为 $\hat{y}$，则交叉熵损失的公式为：

$$\text{Binary Cross-Entropy}=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[y_i\cdot \log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\cdot \log (1-{\hat{y}}_i)\right]$$

• $y_i$：实际类别标签（0 或 1）。
• ${\hat{y}}_i$：模型输出的预测概率。

多分类交叉熵损失

在多分类问题中，假设类别有 $k$ 个，模型输出为一个概率分布 ${\hat{y}}_i=[{\hat{y}}_{i1},{\hat{y}}_{i2},\dots ,{\hat{y}}_{ik}]$，则多分类交叉熵损失的公式为：

$$\text{Categorical Cross-Entropy}=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{y}_{ij}\cdot \log ({\hat{y}}_{ij})$$

• $y_{ij}$：实际类别的 one-hot 编码表示，即如果样本 $i$ 属于类别 $j$，则 $y_{ij}=1$，否则 $y_{ij}=0$。
• ${\hat{y}}_{ij}$：模型输出的预测概率，表示样本 $i$ 属于类别 $j$ 的概率。

原理：

1. 信息熵：交叉熵源于信息论中的“熵”概念，表示一个概率分布与目标分布之间的不确定性。熵越大，模型的预测结果越不确定。
2. 对数函数：使用对数函数是为了惩罚模型对于实际类别的错误预测，对数值越接近0，损失越大。
3. 求和：交叉熵通过对所有样本和类别求和，得出整体的损失值。

交叉熵损失函数在分类问题中非常常用，因为它直接与概率相关，能够准确反映模型对分类任务的表现。交叉熵越小，说明模型预测的概率分布与实际类别分布越接近。