线性代数——求给定向量组的极大线性无关组

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极大线性无关组是向量组中的一部分线性无关向量，能线性表示组内所有向量。在解决此类问题时，应将向量构成矩阵并进行初等行变换，转换为阶梯型矩阵，从而找到极大线性无关组。例如，向量组α1, α2, α3, α4, α5的极大线性无关组可通过此方法得出，避免初等列变换导致的对应关系混乱。" 133191990,20014492,YOLOv实时口罩检测技术详解,"['机器学习', '深度学习', '目标检测', '计算机视觉', '口罩检测']

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极大线性无关组：
在向量组 $α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 中，若存在部分组 $αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}$ 满足：
① $αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}$ 线性无关；
②向量组中任一向量 $αi(i=1,2,...s)\alpha_i(i=1,2,...s)$ 均可由 $αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}$ 线性表出。
则称向量组 $αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}$ 是原向量组的极大线性无关组。

【注意】
1.向量组的极大线性无关组一般不唯一
2.只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组
3.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量本身

【张宇考研数学基础30讲 2021版】p345 eg.2.3.8 设向量组
$α1=[1,−1,2,4]T,α2=[0,3,1,2]T,α3=[3,0,7,14]T,α4=[1,−2,2,0]T,α5=[2,1,5,10]T\alpha_1=[1,-1,2,4]^T,\alpha_2=[0,3,1,2]^T,\alpha_3=[3,0,7,14]^T,\alpha_4=[1,-2,2,0]^T,\alpha_5=[2,1,5,10]^T$
则该向量组的极大线性无关组是（）
$(A)α1,α2,α3(B)α1,α2,α4(A)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \qquad (B)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$
正确的做法：
将向量组合并成矩阵，并做初等行变换，化为阶梯型矩阵，最后化为
$[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5] \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1 &2\\ 0 & 1 &1& 0 &1 \\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0 \end{matrix}\right\} = [\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5] = B$
B中的一组极大线性无关组为 $β1,β2,β4\beta_1,\beta_2,\beta_4$ ，与对应的极大线性无关组为 $α1,α2,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$

错误的方法：
将原来各个向量转置之后拼成了新的矩阵；
$[\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T,\alpha_5^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\3 & 0& 7 & 14 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \\2 & 1 & 5 & 10 \end{matrix}\right\} \Rightarrow [\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T-3\alpha_1^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T,\alpha_5^T-2\alpha_1^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & -4 \\0 & 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right\}$
此时我们容易看出第一个、第二个、第四个行向量是线性无关的，但是注意了此时与原来的向量的对应关系已经发生了改变，这里变成了 $α1T,α2T,α4T−α1T\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T$ 线性无关，虽然在本例中不影响最终的结论，但是在其他情形中是无法保证的。所以列向量合并之后做的是初等行变化，不能是初等列变化。即合并列向量做初等行变化，合并行向量做初等列变化。

那么为什么列向量组经过初等行变化，化成新的列向量组后，对应关系没有发生改变呢？
解释：列向量组经过初等行变化，化成新的列向量组，即
$,βs][\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s] \longrightarrow [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]$
因 $,αs]x=0[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]x =0$ 和 $,βs]x=0[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]x=0$ 是同解方程组（读者朋友可以考虑一下为什么是同解方程组），故 $,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 有相同的线性相关性。同样，任何对应的部分向量组
$,βir][\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}] \longrightarrow [\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}]$
因 $,αir]x=0[\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}]x = 0$ 和 $,βir]x=0[\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}]x=0$ 同解，故 $,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 和 $,βir\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$ 有相同的线性相关性