4、线性与非线性差分方程的求解与应用

线性与非线性差分方程的求解与应用

1. 课堂练习：绘制科赫曲线

在课堂练习中，有一个任务是编写程序绘制第 k 步的科赫曲线。提示是从最左边的顶点开始，按顺时针方向，写出一个差分方程，该方程将一个顶点的坐标与前一个顶点的坐标、线段的长度以及连接两个连续顶点的直线与 x 轴所成的角度联系起来。

2. 线性常系数差分方程的求解

线性常系数差分方程在很多领域都有重要应用，下面我们详细探讨其求解方法。

2.1 直接法概述

直接法假设线性差分方程的总解是两部分之和，即齐次解和特解：
[y(k) = y_{homog.}(k) + y_{partic.}(k)]
其中，齐次解与输入 (u(k)) 无关，此时差分方程的右侧等于零。

2.2 齐次解

假设齐次解的形式为 (y_{homog.}(k) = \lambda^k)，将其代入齐次方程，可得到一个代数方程：
[\sum_{j = 0}^{N} a_j \lambda^{k - j} = 0]
或
[\lambda^k \left(a_0 + a_1 \lambda^{-1} + a_2 \lambda^{-2} + \cdots + a_N \lambda^{-N}\right) = 0]
括号内的多项式称为系统的特征多项式。对于阶数不超过 4 的多项式，可以通过解析方法求根；否则，需要使用数值方法。在 MATLAB 中，当根都是实数时，可以通过图形方式求根，一般情况下可以使用 roots 命令。

如果特征多项式的根都是不同的，那么齐次差分方程