数论-素数和同余

最新推荐文章于 2024-05-27 21:07:26 发布

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本文介绍了如何使用埃拉筛法求1~N内的所有素数，详细讲解了算术基本定理，探讨了正整数因数的个数d(n)和因子之和Sum(n)的计算公式，并阐述了欧几里得原理及其扩展在同余问题中的应用，最后提及了逆元的概念。

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1.如何求1~N内的所有素数(埃拉筛法)

void init()
{
    for(long long i=2;i<N;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[p++]=i;
            for(long long j=i*i;j<N;j+=i)
            {
                v[j]=true;
            }
        }
    }
}

void GetPrime()
{
    for(int i = 2; i <= 431; ++i)
        Prime[i] = true;
    for(int i = 2; i <= 431; ++i)
    {
        if(Prime[i])
        {
            for(int j = i+i; j <= 431; j+=i)
                Prime[j] = false;
        }
    }
    num = 0;
    for(int i = 0; i <= 431; ++i)
        if(Prime[i])
            Primer[num++] = i;
}

线性筛法：

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数 
int p[N], tot;//p[N]用来存质数 
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数 
    for(int i = 2; i < N; i++){
        if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来 
        for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){
            prime[i * p[j]] = false;
            if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 
        }
    }    
}
int main(){
    init();
}

2.算术基本定理：

每个大于1的正整数n都可以表示成素数之积的形式即：

n=【p1】^a1 【p2】^a2 【p3】^a3 【p4】^a4…..

设d(n)是n的正因子的个数，sum(n)是n的所有因子之和

d(n)=(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)…

Sum(n)=(1+p1+p1^2+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+……+p2^a2)*….

3.同余问题

欧几里得原理：

int  gcd(int a,int b)
{
   if(b==0)
      return a;
  else
      return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得原理：

Int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
          if(b==0)
          { 
               x=1;y=0;return a;
          }
          int r=exgcd(b,a%b,x,y);
          int t=x;
          x=y;
         y=t-a/b*y;
          return r;
}

4.逆元

偷个懒了——>https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html