本文详细介绍了复变函数的积分概念，包括复积分的定义、性质及多种计算方法，如柯西积分定理、闭合曲线积分的各种方法，如利用原函数、柯西积分公式和高阶导数定理等。此外，还探讨了柯西积分定理的路径无关性以及解析函数的高阶导数特性。
1. 复积分的概念
1.1 复积分的定义
∫ c f ( z ) d z = lim λ − > 0 f ( ξ ) Δ z \int_cf(z)dz=\lim_{ \lambda->0 }f(\xi)\Delta z ∫cf(z)dz=λ−>0limf(ξ)Δz
1.2 复积分的性质
（1） ∫ c f ( z ) d z = − ∫ c − f ( z ) d z \int_c f(z)dz = -\int_{c^-}f(z)dz ∫cf(z)dz=−∫c−f(z)dz
（2） ∫ c f ( z ) d z = ∫ c 1 f ( z ) d z + ∫ c 2 f ( z ) d z \int_c f(z)dz = \int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz ∫cf(z)dz=∫c1f(z)dz+∫c2f(z)dz
（3） ∣ ∫ c f ( z ) d z ∣ ≤ ∫ c ∣ f ( z ) ∣ ∣ d z ∣ ≤ M L |\int_c f(z)dz| \leq \int_c |f(z)| |dz| \leq ML ∣∫cf(z)dz∣≤∫c∣f(z)∣∣dz∣≤ML
1.3 复积分的计算
【积分】方法1：化为第二类曲线积分
∫ c f ( z ) d z = ∫ c ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ c ( u d x − v d y ) + i ∫ c ( v d x + u d y ) \int_c f(z) dz = \int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_c(udx-vdy)+i\int_c(vdx+udy) ∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy)=∫c(udx−vdy)+i∫c(vdx+udy)
（一般较少使用）
【积分】方法2：直接化为定积分[5]
C : z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ∫ c f ( z ) d z = ∫ c f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t C:z=z(t)=x(t)+iy(t) \\ \int_c f(z) dz = \int_cf[z(t)]z'(t)dt C:z=z(t)=x(t)+iy(t)∫cf(z)dz=∫cf[z(t)]z′(t)dt
【积分】方法3：利用原函数求解
∫ c f ( z ) d z = F ( z ) ∣ z o z 1 \int_c f(z) dz = F(z)|_{z_o}^{z_1} ∫cf(z)dz=F(z)∣zoz1
【闭合曲线积分】方法4：柯西积分定理
设函数f(z)在单连通区域D内解析， τ \tau τ为D内的任意一条简单闭曲线，则：
∮ t a u f ( z ) d z = 0 \oint_{tau}f(z)dz=0 ∮tauf(z)dz=0
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