27、热传导与扭转应力问题的数值分析与求解

热传导与扭转应力问题的数值分析与求解

在工程和科学领域中，热传导和扭转应力是常见的物理现象，对其进行准确的分析和求解具有重要意义。本文将详细探讨一维平板的瞬态热传导、圆柱的瞬态热传导以及矩形截面梁的扭转应力问题，并给出相应的数值求解方法和代码实现。

一维平板的瞬态热传导

考虑一个一维平板，其左侧绝热，右侧温度按正弦规律变化，初始温度为零。该问题的数学模型可表示为以下偏微分方程和边界条件：
[\alpha \frac{\partial^2U}{\partial X^2}(X, T) = \frac{\partial U}{\partial T}(X, T), \quad 0 < X < \ell, \quad T > 0]
[\frac{\partial U}{\partial X}(0, T) = 0, \quad U(\ell, T) = U_0 \sin(\Omega T)]
[U(X, 0) = 0, \quad 0 < X < \ell]
其中，(U) 为温度，(X) 为位置，(T) 为时间，(\alpha) 为热扩散率。

为了方便求解，引入无量纲变量：
[u = \frac{U}{U_0}, \quad x = \frac{X}{\ell}, \quad t = \frac{\alpha T}{\ell^2}, \quad \omega = \frac{\Omega \ell^2}{\alpha}]
将其代入原方程，得到无量纲形式的方程：
[\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},