线性代数【六】：解线性方程组

本节为线性代数复习笔记的第六部分，解线性方程组，主要包括：解齐次方程组和非齐次方程组。

1.解齐次线性方程组

$eg.$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\ 4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\end{array}$
$解：$
(1)写出系数矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& -3& -1\\ 1& -1& 2& -1& 0\\ 4& -2& 6& 3& -4\\ 2& 4& -2& 4& -7\end{array}\right]$

(2)化A为阶梯形矩阵$B=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& -3& -1\\ 0& -2& 2& 2& 1\\ 0& 0& 0& 3& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
只行变换，且r(A)=r(B)=3，具体变换过程为：
(2)-(1) >> (3)-4(1) >> (4)-2(1) >> (3)-3(2) >> (4)+(2) >> (4)-4/3(3) >> 1/3(3)）

在矩阵B中的每个台阶上取一列，必成线性无关向量组，剩余位置为自由变量

(3) 根据阶梯矩阵得到新的方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ -2x_2+2x_3+2x_4+x_5=0\\ 3x_4-x_5=0\end{array}$
(4) 基础解系的数量为n-r(a)=2，我们，也就是自由变量的数量，为了简单其间，这两个自由变量在基础解系中一般只取可以组成“m阶单位矩阵”，如下所示，我们取$x_3,x_4$为自由变量，根据阶梯矩阵得到的新方程一次计算基础解系中其他变量的值，两个基础解系分别为：
$$\begin{gathered} {\xi }_1=(-1,1,1,0,0{)}^T \\ {\xi }_2=(\frac{7}{2},\frac{5}{2},0,1,3{)}^T \end{gathered}$$

(5)写出通解$\xi =k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$

2. 解非齐次线性方程组

$eg.$$\{\begin{array}{l}{x}_1+5x_2-x_3-x_4=-1\\ x_1-2x_2+x_3+3x_4=3\\ 3x_1+8x_2-x_3+x_4=1\\ x_1-9x_2+3x_3+7x_4=7\end{array}$
$解：$
(1) 写出增广矩阵$[A,b]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 5& -1& -1& -1\\ 1& -2& 1& 3& 3\\ 3& 8& -1& 1& 1\\ 1& -9& 3& 7& 7\end{array}\right]$

(2) 化为阶梯形矩阵：$\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& -1& -1& -1& \\ 0& -7& 2& 4& 4& \\ 0& 0& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& \end{array}\right]$
具体变换过程：（(2)-(1) >> (3)-3(1) >> (4)-(1) >> (3)-(2) >> (4)-2(2)）
(3) 求对应齐次通解：$\xi =k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$
$$\begin{gathered} {\xi }_1=(-\frac{3}{7},\frac{2}{7},1,0{)}^T \\ {\xi }_2=(-\frac{13}{7},\frac{4}{7},0,1{)}^T \end{gathered}$$

(4) 求一个特解：${\xi }_0=(\frac{13}{7},-\frac{4}{7},0,0{)}^T$
(5) 写出非齐次线性方程组的通解：
$[x_1,x_2,x_3,x_4{]}^T={\xi }_0+k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$

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