线性代数入门指南：线性方程组

一、线性方程组

如果说用从高等数学的视角和从初等数学的视角看待线性方程组有什么差异的话，我要说，高等数学为我们提供了全新的理解线性方程组的角度。对于任意一个线性方程组，不同于高中单纯的视角，我们有这样几种理解这个方程组的角度。第一是将这个线性方程组理解成一个向量方程组，第二个是将这个方程组以矩阵乘法AX=B的形式写出来。对于第二种，B是一个n阶列向量，如果这个向量是零向量，那么方程组是齐次的，反之则是非齐次的。于是从这两个角度出发我们能得到一些新的结论。

第一，线性方程组有解不再只是线性方程组有解，还可以理解为B可以被A中n个列向量线性表示。还有一种理解方式是向量组a1,a2 … …an和a1,a2 … …an,B是等价的，这意味着B必然是向量组张成空间当中的一个向量，而这恰恰说明了一个事实——系数矩阵和增广矩阵的秩是相同的（毕竟向量空间的维数是一样的）

如果B不是前一个向量组张成空间的向量呢？那么很遗憾，这个线性方程组无解。这个无解的最为明显的体现就是在对增广矩阵进行初等变换到最后，也许会出现类似于0=1这样无厘头的式子，这可真让人无奈呀。

第二，线性方程组的解可以写成向量的形式，这便是解向量，得出这个结论是基于矩阵的视角看待线性方程组。

在初等数学的背景下，我们一直在一种“理想”的环境当中解线性方程组，不仅未知数的个数较少，而且往往只有唯一解，然而如果沉醉其中，我们便无法站在高等数学的山峰上仰望星空，并在残酷的现实当中撞得头破血流。

二、齐次和非齐次线性方程组的解

理想情况下，对于一个线性方程组，有n个未知数和n个方程，而且方程右边的系数还不都是0，这样我们可以得到方程的唯一解，这也是我们在学习初等数学时的工作。

这种情况用现在学过的定理描述就是，对于一个非齐次线性方程组，在系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相同，并且等于未知数个数的情况下，我们的方程组有唯一的解。

那么，问题来了。

我们不妨看看这条定理的限定词，“非齐次”“秩相同”“等于未知数个数”，这三个条件满足才能得到唯一解，也就是说破坏了其中任意一