52、数学问题与二阶线性微分方程解析

数学问题与二阶线性微分方程解析

一、多元微积分问题求解

1. 利用散度定理计算区域体积

设 (V_1) 是 (l(V)) 中位于 (V(d)) 和 (V) 之间的部分，(\partial V_1) 是其边界，(V_0) 是 (V_1) 的侧面（即除 (V) 和 (V(d)) 之外的 (V_1) 的表面）。
根据散度定理：
(\iint_{\partial V_1} \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{u^3} dS = \iiint_{V_1} \frac{\nabla \cdot \mathbf{r}}{u^3} dV)
其中，(\frac{\nabla \cdot \mathbf{r}}{u^3} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot \left(\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}, \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}, \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0)
所以 (\iint_{\partial V_1} \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{u^3} dS = \iiint_{V_1} 0 dV = 0)
又因为对于 (\partial V_1) 中除 (V(d)) 和 (V) 之外的表面，(\mathbf{r} \cdot \mathb