二阶齐线性微分方程就是指形如 y ′ ′ + p y ′ + q = 0 y''+py'+q=0 y′′+py′+q=0的微分方程，一种解法就是使用二阶微分方程的公式，这里介绍另一种方法。
对于二阶微分方程，如果找到两个线性无关的特解 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2，那么通解为
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y=C_1y_1+C_2y_2 y=C1y1+C2y2
根据这个定理，我们只需要找到两个线性无关的特解，就能解出通解。
令
y
=
e
r
x
y=e^{rx}
y=erx，其中
r
r
r是一个实数。代入微分方程得
r
2
e
r
x
+
p
r
e
r
x
+
q
e
r
x
=
0
r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0
r2erx+prerx+qerx=0
消去
e
r
x
e^{rx}
erx得
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2+pr+q=0
r2+pr+q=0
我们只需要解这个一元二次方程得两根
r
1
,
r
2
r_1,r_2
r1,r2即可。下面分类讨论
1.若 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2为不等的两个实根
得到两个线性无关的特解
y
1
=
e
r
1
x
,
y
2
=
e
r
2
x
y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}
y1=er1x,y2=er2x，所以通解为
y
=
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}
y=C1er1x+C2er2x
2.若 r = r 1 = r 2 r=r_1=r_2 r=r1=r2为相等实根
我们只能得到一个特解
y
1
=
e
r
x
y_1=e^{rx}
y1=erx，那么再令
y
=
u
e
r
x
y=ue^rx
y=uerx，其中
u
u
u是关于
x
x
x的函数。
e
r
x
(
u
′
′
+
2
r
u
′
+
r
2
u
+
p
u
′
+
p
r
u
+
q
u
)
=
0
e^{rx}(u''+2ru'+r^2u+pu'+pru+qu)=0
erx(u′′+2ru′+r2u+pu′+pru+qu)=0
u
′
′
+
(
2
r
+
p
)
u
′
+
(
r
2
+
p
r
+
q
)
=
0
u''+(2r+p)u'+(r^2+pr+q)=0
u′′+(2r+p)u′+(r2+pr+q)=0注意到
2
r
+
p
=
r
2
+
p
r
+
1
=
0
2r+p=r^2+pr+1=0
2r+p=r2+pr+1=0，故
u
′
′
=
0
u''=0
u′′=0取
u
=
x
u=x
u=x，则
y
2
=
x
e
r
x
y_2=xe^{rx}
y2=xerx，所以通解为
y
=
(
C
1
+
C
2
x
)
e
r
x
y=(C_1+C_2x)e^{rx}
y=(C1+C2x)erx
3.若 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2为一对共轭复根
设
r
1
=
α
+
β
i
,
r
2
=
α
−
β
i
r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i
r1=α+βi,r2=α−βi，那么
y
1
=
e
α
(
i
s
i
n
β
x
+
c
o
s
β
x
)
,
y
2
=
e
α
(
−
i
s
i
n
β
x
+
c
o
s
β
x
)
y_1=e^\alpha(isin\beta x+cos\beta x),y_2=e^\alpha(-isin\beta x+cos\beta x)
y1=eα(isinβx+cosβx),y2=eα(−isinβx+cosβx)可以得到两个特解
y
3
=
y
1
+
y
2
2
,
y
4
=
y
1
−
y
2
2
i
y_3=\frac{y_1+y_2}{2},y_4=\frac{y_1-y_2}{2i}
y3=2y1+y2,y4=2iy1−y2
y
3
=
e
α
s
i
n
β
x
,
y
4
=
e
α
c
o
s
β
x
y_3=e^\alpha sin\beta x,y_4=e^\alpha cos\beta x
y3=eαsinβx,y4=eαcosβx所以通解为
y
=
e
α
(
C
1
s
i
n
β
x
+
C
2
c
o
s
β
x
)
y=e^\alpha(C_1sin\beta x+C_2cos\beta x)
y=eα(C1sinβx+C2cosβx)
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