二阶齐次线性微分方程的通解公式_二阶线性微分方程解的结构

导言

如果你是一名数学工作者，在研究二阶线性微分方程的通解，你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式：

如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动，或许你会很快想到特征方程或者复数法，但是，物理里的方程仅仅是这个一般的方程中其中 p(x), q(x) 及 f(x)都是取到某些特殊的值情况下的方程，把这些方法应用到解一般的情况下会遇到困难，下文我将以求解这个方程的通解为主线，探讨整体的理论架构。

整体的概览

对于原二阶线性非齐次微分方程，其对应的二阶线性齐次微分方程是：

我们有以下结论：

二阶线性非齐次的微分方程的通解等于其一个特解与相应的二阶线性齐次的微分方程的通解之和。

即有如下定理：

在该定理的基础上，现在我们的问题归结于以下几个问题：

1.非齐次方程的特解存在吗？如果存在的话我们该怎样找到它？

2.齐次方程的通解存在吗？如果存在的话我们该怎样找到它？

我们先来讨论第二个问题。

齐次方程的通解的求解

对于齐次方程很容易验证下面的结论定理若是齐次方程的解其中是任意常数，则与的线性组合也是齐次方程的解

假设齐次方程的通解是存在的(注意现在是假设，其证明我们会在后面会有定理给出)

那么其通解一定可以表示为

那么这里引入了线性无关解的的概念，关于这个概念，你可以这样理解：我们把具有具有一种特殊的关系的两个解称为线性相关的，反之则称为线性无关的。（其真正的定义你可以去看附录），为了不打断我们的思路，正文中我们先不提这些概念。

那么是否一定会存在这样的一组线性无关解呢？

既然这样，假如我们获得了两个解，我们如何判断这两个解是否是线性无关解呢？

那么为了讨论两个解是否是线性无关解我们又引入了Wronski行列式的概念，为了方便讨论，我们简要介绍一下该概念。

Wronski行列式有一个很独特的性质：

Wronski行列式对于判断两个函数是否是线性相关有很大的价值。

这里的两条定理给出了判断两个函数是否线性相关的方法。

事实上，

现在我们已经证明了齐次方程的通解的存在性，但是我们不知道如何确切的找到这个解，对此我们有以下的结论：

至于找一个解的方法，用得最多的是观察法。

非齐次方程的通解的求解

在齐次方程通解已经解出的情况下，我们的问题落到第一个问题：非齐次方程的特解存在吗？如果存在的话我们该怎样找到它？

当然是存在的，因为我们可以找到它。

那么如何找到它呢？

首先还是观察法

第二在已知齐次方程的通解的情况下，我们可以得到这个特解

最后的一个问题

我们来检查一下我们目前已有的结论，非齐次方程的一个特解与齐次方程的一个通解之和就是非齐次方程的通解，而非齐次方程的一个特解可以由齐次方程的通解得到，齐次方程的通解需要两个线性无关解，而一个解可以用另一个解导出，所以我们的问题在于找到齐次方程的一个特解。

有如下的结论：

至此，所有的问题被全部解决。

附录

读者如果希求本文中定理的证明，可以参考有关的论著（如《数学分析教程》（中国科学技术大学出版社））