45、向量场与线积分知识详解

向量场与线积分知识详解

一、向量场

1. 常见向量场类型

• 二维向量场
  • (F(x,y) = 0.3\vec{i} - 0.4\vec{j}) ：该向量场中所有向量都相同，长度为(0.5)，且平行于(\langle3, -4\rangle)。
  • (F(x,y)=\frac{1}{2}x\vec{i}+y\vec{j}) ：向量(\frac{1}{2}x\vec{i}+y\vec{j})的长度为(\sqrt{\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}})，向量大致背离原点，离原点越远向量越长。
  • (F(x,y)=-\frac{1}{2}\vec{i}+(y - x)\vec{j}) ：向量(-\frac{1}{2}\vec{i}+(y - x)\vec{j})的长度为(\sqrt{\frac{1}{4}+(y - x)^{2}})，在直线(y = x)上的向量是水平的，长度为(\frac{1}{2})。
  • (F(x,y)=y\vec{i}+(x + y)\vec{j}) ：向量(y\vec{i}+(x + y)\vec{j})的长度为(\sqrt{y^{2}+(x + y)^{2}})，在(x)轴上的向量是垂直的，在直线(y=-x)上的向量是水平的，长度为(\vert y\vert)。
  • (F(x,y)=\frac{y\vec{i}+x\vec{j