10、可扩展密集非刚性运动结构恢复与形状先验方法解析

可扩展密集非刚性运动结构恢复与形状先验方法解析

可扩展密集非刚性运动结构恢复（Scalable Dense Non-Rigid Structure from Motion）

在可扩展密集非刚性运动结构恢复中，涉及到多个关键步骤和方法。

1. 轨迹空间表示与计算

首先，在形状轨迹 $X \in R^{d×K}$ 中，$k \in {1, .., K}$ 和 $d$ 是低频离散余弦变换（DCT）系数的数量，它在截断的 DCT 域 $\Omega_d \in R^{F×d}$ 上紧凑地表示 $C$。轨迹空间约束的优势在于已知的 DCT 基，这大大减少了未知数的数量，从而加快了整体收敛速度。利用轨迹空间的表示，$M$ 可以表示为：
$M = R(C⊗I_3) = R(\Omega_d X⊗I_3)$ (4.40)
其中，使用预先计算的相机运动 $R$，$M$ 仅被视为 $X$ 的函数。进一步地，$B$ 可以通过以下公式计算：
$B = M^{\dagger}W$ (4.41)
这里，$^{\dagger}$ 表示 Moore - Penrose 伪逆算子。估计 DCT 形状轨迹 $X$ 被表述为最小化 Frobenius 范数下的平方重投影误差的问题：
$\min_{M} ||W - W^ ||_F^2$
且 $W^ = MB = MM^{\dagger}W$ (4.42)
$X$ 初始化为 $X_0 = [I_K 0]$，即 $K × K$ 的单位矩阵并填充额外的零。高频 DCT 系数可以通过对式 (4.42) 进行迭代高斯 - 牛顿最小化来估计。形状基矩阵 $B$ 在管道的下一部分不直接使