sin的导数为cos的几何和公式证明

几何证明:

AC切圆O于C
AO交圆O于B
CD、OF为水平线
BF为垂直线
令∠EOF = θ 求证sinθ的导数为cosθ
证:
设∠AOC的角度为x,
由弦切角定理可知∠ACB = $\frac{1}{2}$x
而且∠ECD=θ
则∠BCD = 90°-θ-$\frac{1}{2}$x
于是

$$\lim_{x\to 0}sin(90°-θ-\frac{1}{2}x)=cosθ$$
意思就是 当x无限接近于0时 sin(θ+x)-sinθ的差无限接近于cosθ

公式证明:

$$\lim_{x\to 0}\frac{sin(θ+x)-sinθ}{x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{sinθcosx+cosθsinx-sinθ}{x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{cosθsinx}{x}$$
因为 $$\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$$
所以结果为 $$cosx$$

为什么

$$\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1?$$
当x无限接近于0, $\frac{sinx}{x}$ = $\frac{对边/半径}{弧长/半径}$ = 对边/弧长，无限接近于1