关于sin的导数的证明

最新推荐文章于 2024-11-13 20:51:50 发布
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分类专栏： 数学

引自JetTangs的博客


几何证明:


AC切圆O于C
AO交圆O于B
CD、OF为水平线
BF为垂直线
令∠EOF = θ 求证sinθ的导数为cosθ
证:
设∠AOC的角度为x,
由弦切角定理可知∠ACB = 12 x
而且∠ECD=θ
则∠BCD = 90°-θ- 12 x
于是

limx→0sin(90°−θ−12x)=cosθ

意思就是 当x无限接近于0时 sin(θ+x)-sinθ的差无限接近于cosθ

公式证明:

limx→0sin(θ+x)−sinθx

=limx→0sinθcosx+cosθsinx−sinθx

=limx→0cosθsinxx

因为
limx→0sinxx=1

所以结果为
cosx

为什么

limx→0sinxx=1?

当x无限接近于0, sinxx = 对边/半径弧长/半径 = 对边/弧长，无限接近于1
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反三角函数详解
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名称符号定义定义域值域反正弦yarcsin⁡xyarcsinxxsin⁡yx=\sin yxsiny−11[-1,1]−11−π2π2−2π​2π​反余弦yarccos⁡xyarccosxxcos⁡yx=\cos yxcosy−11[-1,1]−110π[0,\pi]0π反正切yarctan⁡xyarctanxxtan⁡yx=\tan yxtanyR。
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（Inverse Function）是一种函数，它可以“反转”另一种函数的输入和输出。给定一个函数fx，其反函数记作f−1xff−1x))xf−1fx))xxyyy例如，函数fx2x3x2y3yy2x−3​f−1x2x−3​。
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输入已知数据点计算按钮，可求出对应的角度值、弧度值、反正弦arcsin、反余弦arcos、反正切artan、反余切arcot、反正割arsec、反余割arcsc等值。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2余...
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引言         最近宝宝在准备考在职研究生，对这个数学呀，真是头疼，把公式拿出来，大家一起积累一下吧！！         sin （正弦） 直接三角形里对边比斜边         cos（余弦） 直角三角形里邻边比斜边          tan   (正切)     对边比邻边  1.诱导公式        sin(-a)=-sin(a)        cos(-a)=co
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求导公式： 特定函数求解 f(x)=xnf,(x)=n∗xn−1f(x) =x^n \\f^,(x)=n*x^{n-1}f(x)=xnf,(x)=n∗xn−1 2.通用函数求解公式： （u+v),=u.+v,（u+v)^, = u^.+v^,（u+v),=u.+v, (Cu),=Cu,(Cu)^, = Cu^,(Cu),=Cu, C为任意常数 三角函数的求导 和差化积公式 sin(a+b)=...
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<think>好的，我现在需要处理用户关于常用导数公式列表的查询。首先，用户意图是查找这些公式，可能用于学习或复习微积分基础知识。接下来，我要确保覆盖基本的导数规则和常见函数的导数，同时按照用户的要求组织内容，避免使用第一人称和步骤词汇。 首先，回忆常用的导数公式，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。然后，考虑是否需要包括导数的四则运算法则和链式法则，这些对用户解决问题可能很重要。用户可能需要例子来理解如何应用这些公式，所以每个部分下添加示例代码可能会有帮助，但要注意格式要求，使用三个反引号注明语言类型，比如Python代码示例。 接下来，需要检查是否每个公式都正确，比如正弦函数的导数是余弦，而余弦的导数是负正弦。指数函数e^x的导数保持不变，对数函数lnx的导数是1/x。还要注意特殊情况的处理，比如自然对数与以a为底的对数导数不同。 然后，考虑如何组织内容。用户希望分方法或步骤，每个之间换行。可能需要分为基本初等函数导数、四则运算规则、复合函数求导法则等部分。每个部分下用标题，比如“一、基本初等函数导数公式”，然后列出各个公式，用项目符号。公式必须用$包裹，例如$f(x) = x^n$的导数是$f'(x) = nx^{n-1}$。 同时，用户要求禁止引用集中在末尾，所以每个公式后面如果有必要，可以简短说明，但不需要引用来源。此外，需要生成相关问题，这些问题应基于用户的原问题和回答内容，比如导数应用实例、证明方法、记忆技巧等。 最后，确保相关问题部分格式正确，使用指定的标题，三个问题用数字标号，且标题在同一行。检查是否有使用被禁止的词汇如“首先”、“然后”，确保没有第一人称。数学公式和代码的格式也要严格符合要求，避免错误。 可能遗漏的地方是反三角函数的导数，用户可能需要这些，但常用列表中是否必须？根据常见教材内容，反三角函数的导数虽然重要，但如果是“常用”列表，或许可以省略，或者简要提及。需要确认搜索的结果，如果网络资料中普遍包含，则应该加入，否则可以暂不包含，以保持列表的简洁性。 此外，检查是否有错别字或公式错误，比如幂函数的导数指数是否正确，lnx的导数是否为1/x，以及乘法法则和除法法则是否正确。例如，乘法法则是f’g + fg’，除法是(f’g - fg’)/g²。 现在，整合所有内容，按照用户的要求分点，使用标题，插入代码示例（如果有的话），并确保格式正确。最后生成相关问题，比如如何推导基本公式、导数应用实例、记忆技巧等，确保相关问题与用户查询相关且具有延伸性。</think>一、基本初等函数导数公式 $f(x) = x^n$ → $f'(x) = nx^{n-1}$（幂函数） $f(x) = e^x$ → $f'(x) = e^x$ $f(x) = a^x$ → $f'(x) = a^x \ln a$ $f(x) = \ln x$ → $f'(x) = \frac{1}{x}$ $f(x) = \log_a x$ → $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$ $f(x) = \sin x$ → $f'(x) = \cos x$ $f(x) = \cos x$ → $f'(x) = -\sin x$ $f(x) = \tan x$ → $f'(x) = \sec^2 x$ 二、导数的四则运算规则 线性性：$(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x)$ 乘法法则：$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 除法法则：$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ 三、复合函数求导法则 链式法则：$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 示例代码实现链式法则： ```python def chain_rule(f_prime, g_prime, g_x): return f_prime * g_prime # 例如：求 sin(2x) 导数 f_prime = cos(2x) g_prime = 2 result = chain_rule(f_prime, g_prime, 2x) ``` 四、特殊函数导数 $f(x) = \arcsin x$ → $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $f(x) = \arctan x$ → $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ $f(x) = |x|$ → $f'(x) = \frac{x}{|x|}$（$x \neq 0$）
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