区间选点--差分约束与spfa

问题描述:

给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点

Input:

输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。

Output：

输出一个整数表示最少选取的点的个数

Sample Input：

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

Sample Output：

6

题解：

一、差分约束： 差分约束系统是一种特殊的 n 元一次不等式组，它包含 n个变量以及m个约束条件。每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如x2-x5≤1。
我们要解决的问题是：求一组解使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。求解差分约束的解，都可以转换为求单源最短路问题。因为约束a-b<c可以转化为a<b+c；与我们单源最短路的松弛关系类似，因此可以使用求单源最短路的flyod，dijkstra算法等。
二、在这个题中，我们看到要求[a,b]中由c个点，如果sum[i]代表[0,i]区间里有多少个点，那么sum[b]-sum[a-1]>c就可以转化成sum[b]<sum[a-1]+c;同时，我们还需要保证1>=sum[i]-sum[i-1]>=0.将上述条件转化为边，插入到边集中。因为要求最小的点，所以我们使用spfa跑最长路，在跑的过程中，同时松弛，那么最后的位置的dis就是我们所选的点的个数。

完整代码：

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include <algorithm> 
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include<queue>
using namespace std;
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */
const int inf=1e8;
struct edge{
	int to;
	int next;
	int w;
}e[200001];

int head[50001],dis[50001],count[50001],inq[50001];
int tot=0;
void add(int x,int y,int w)
{
	e[tot].to=y;
	e[tot].next=head[x];
	e[tot].w=w;
	head[x]=tot;
	tot++;
}

void init()
{
	for(int i=0;i<50001;i++)
	{
		head[i]=-1;
		dis[i]=-inf;
		inq[i]=0;
	}
} 



int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	cin>>n;
	int max=0;
	init();
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add(a,b+1,c);
		if(b+1>max)	
		max=b+1;
	}
	for (int i=1; i<=max; i++) {
        add(i-1, i, 0);
        add(i, i-1, -1);
    }
    int s=0;
    dis[s] = 0;
    inq[s] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while(!q.empty()) 
	{
    	int u = q.front();
		q.pop();
		inq[u] = 0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next) 
		{
       		int v = e[i].to;
            if(dis[v] < dis[u] + e[i].w) 
			{
                dis[v] = dis[u] + e[i].w;
                if(!inq[v]) 
				{
                    q.push(v);
                    inq[v] = 1;        
				}
            }
        }
    }
    cout<<dis[max]<<endl;
    return 0;

}