2、基于反向布尔等价性的布尔网络简化：原理、应用与优势

基于反向布尔等价性的布尔网络简化：原理、应用与优势

1. 反向布尔等价性基础

反向布尔等价性（Backward Boolean Equivalence，BBE）是一种用于简化布尔网络（Boolean Networks，BNs）的有效方法。它源自于普通微分方程和化学反应网络中的反向等价性概念，在布尔网络的维度降低方面表现出色。

• 常量状态的定义 ：在等价关系 $R$ 下，状态 $s \in B^n$ 被定义为常量状态，当且仅当对于所有 $(x_i, x_j) \in R$，都有 $s_{x_i} = s_{x_j}$。例如，对于等价关系 $R$ 对应的划分 $X_R = { {x_{Sp8}, x_{Fgf8}}, {x_{Pax6}}, {x_{Emx2}}, {x_{Coup tfi}}}$，状态 $s = (1, 0, 1, 1, 1)$ 是常量状态，因为 $s_{Sp8} = s_{Fgf8}$；而 $(1, 0, 1, 0, 1)$ 则不是。
• 反向布尔等价性的定义 ：对于布尔网络 $B = (X, F)$ 和变量集 $X$ 的划分 $X_R$，划分 $X_R$ 是反向布尔等价性（BBE），当且仅当公式 $\Phi_{X_R}$ 成立。$\Phi_{X_R}$ 表示如果对于所有等价类 $C$ 中的变量相等，那么同一等价类中变量的更新函数也相等。即对于所有在 $R$ 上为常量的状态 $s \in B^n$，$F(s)$ 也在 $R$ 上为常量。例如，上述的划分 $X_R = { {x_{Sp8}, x_{Fgf8}}, {x_{Pax6}}, {