[算法] OFDM信号的调制与解调详解（完整仿真代码）

极客不孤独

于 2025-06-25 23:33:43 发布

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文章标签：算法学习数学建模信息与通信 python

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OFDM信号的调制与解调详解

文章目录

- - OFDM信号的调制与解调详解

一、数学原理

OFDM（正交频分复用）的核心思想是将高速数据流分割为多个低速子流，通过相互正交的子载波并行传输。其数学基础是离散傅里叶变换（DFT） 和奈奎斯特采样定理。

关键方程：

时域信号： $\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N}$
频域信号： $\sum_{n=0}^{N-1} s[n] e^{-j2\pi kn/N}$
正交性： $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi (k-m)n/N} = \delta[k-m]$

二、调制解调流程

调制过程（发送端）：

数据映射：将输入的二进制比特流通过QAM调制映射为复数符号。例如在4-QAM中，每2个比特映射为一个复数符号（00→-1-j, 01→-1+j, 10→1-j, 11→1+j）
串并转换：将串行的符号流转换为N路并行数据，每个符号对应一个子载波
IFFT变换：对并行的频域符号进行逆快速傅里叶变换，转换为时域信号
$\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}$
加循环前缀：复制每个OFDM符号尾部的CP个采样点，添加到符号开头
并串转换：将带循环前缀的并行符号转换为串行时域波形

信道传输：

信号发送：OFDM信号通过无线信道传输，仿真中模拟为加性高斯白噪声（AWGN）信道
$r (t) = s (t) + n (t)$

解调过程（接收端）：

串并转换：将接收到的串行信号分割为独立的OFDM符号块
去循环前缀：移除每个符号块前端的CP个采样点
FFT变换：对时域信号进行快速傅里叶变换，恢复频域符号
$\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{-j2\pi kn/N}$
信道均衡：补偿信道失真（仿真中未实现，实际系统必需）
QAM解映射：将复数符号解调为二进制比特流

完整流程图：

关键点说明：

正交性原理：子载波间距Δf=1/T，满足正交条件：
$\int_0^T e^{j2\pi(m-n)t/T}dt = \begin{cases} T & m=n \\ 0 & m≠n \end{cases}$
循环前缀作用：
- 消除符号间干扰(ISI)
- 将线性卷积转换为循环卷积
- 简化信道均衡过程
FFT/IFFT实现：利用快速傅里叶变换算法，将复杂度从O(N²)降低到O(NlogN)
频谱效率：虽然需要添加循环前缀（约20%开销），但通过子载波正交排列，仍比传统FDM节省50%带宽
抗多径能力：循环前缀长度需大于信道最大时延扩展，确保多径分量不会干扰下一个符号

此流程完整展示了OFDM系统从比特流到无线信号再到恢复比特流的全过程，Python代码实现了这一流程的端到端仿真。

三、完整Python仿真

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, ifft

# ================== 参数设置 ==================
N = 64                 # 子载波数量
CP = 16                # 循环前缀长度
SNR_dB = 20            # 降低信噪比以展示噪声影响
total_symbols = 10     # 总符号数
mod_order = 4          # 4-QAM调制

# ================== 调制过程 ==================
def ofdm_modulator(data):
    # QAM映射（4-QAM）
    qam_symbols = 2 * data.reshape(-1, 2).astype(float) - 1
    qam_symbols = qam_symbols[:, 0] + 1j * qam_symbols[:, 1]
    qam_symbols /= np.sqrt(2)  # 能量归一化
    
    # 串并转换
    parallel_data = qam_symbols.reshape(total_symbols, N)
    
    # IFFT变换
    time_domain = np.zeros_like(parallel_data, dtype=complex)
    for i in range(total_symbols):
        time_domain[i] = ifft(parallel_data[i], norm="ortho") * np.sqrt(N)  # 功率补偿
    
    # 加循环前缀
    cp = time_domain[:, -CP:]
    ofdm_symbols = np.hstack((cp, time_domain))
    
    # 并串转换
    tx_signal = ofdm_symbols.flatten()
    return tx_signal, qam_symbols

# ================== 信道模拟 ==================
def awgn_channel(signal, snr_db):
    snr = 10**(snr_db/10)
    signal_power = np.mean(np.abs(signal)**2)
    noise_power = signal_power / snr
    noise = np.sqrt(noise_power/2) * (np.random.randn(len(signal)) + 1j*np.random.randn(len(signal)))
    return signal + noise

# ================== 解调过程 ==================
def ofdm_demodulator(rx_signal):
    # 串并转换
    rx_symbols = rx_signal.reshape(total_symbols, N + CP)
    
    # 去循环前缀
    rx_no_cp = rx_symbols[:, CP:]
    
    # FFT变换
    freq_domain = np.zeros((total_symbols, N), dtype=complex)
    for i in range(total_symbols):
        freq_domain[i] = fft(rx_no_cp[i], norm="ortho") / np.sqrt(N)  # 功率补偿
    
    # QAM解映射
    rx_symbols = freq_domain.flatten()
    rx_real = np.real(rx_symbols) * np.sqrt(2)
    rx_imag = np.imag(rx_symbols) * np.sqrt(2)
    
    rx_data = np.zeros(len(rx_symbols)*2)
    rx_data[0::2] = (rx_real > 0).astype(int)
    rx_data[1::2] = (rx_imag > 0).astype(int)
    
    return rx_data, freq_domain.flatten()  # 返回解调比特和频域符号

# ================== 主程序 ==================
if __name__ == "__main__":
    # 生成随机二进制数据
    tx_bits = np.random.randint(0, 2, total_symbols * N * 2)  # 每个符号2比特
    
    # OFDM调制
    tx_signal, tx_symbols = ofdm_modulator(tx_bits)
    
    # 通过AWGN信道
    rx_signal = awgn_channel(tx_signal, SNR_dB)
    
    # OFDM解调
    rx_bits, rx_symbols = ofdm_demodulator(rx_signal)
    
    # 计算误码率
    ber = np.mean(tx_bits != rx_bits)
    print(f"误码率: {ber:.2e} (SNR={SNR_dB}dB)")
    
    # 绘制时域信号
    plt.figure(figsize=(12, 10))
    plt.subplot(311)
    plt.plot(np.real(tx_signal[:200]), 'b')
    plt.title(f'发送信号实部 (前200个采样点, SNR={SNR_dB}dB)')
    plt.grid(True)
    
    # 绘制频域信号
    plt.subplot(312)
    plt.plot(np.abs(fft(tx_signal[:N*2])[:N], 'r')
    plt.title('OFDM信号频谱 (首个符号)')
    plt.grid(True)
    
    # 绘制星座图
    plt.subplot(313)
    # 发送符号（理想位置）
    plt.scatter(np.real(tx_symbols), np.imag(tx_symbols), 
                c='b', marker='o', alpha=0.5, label='Tx Symbols')
    
    # 接收符号（实际位置）
    plt.scatter(np.real(rx_symbols), np.imag(rx_symbols), 
                c='r', marker='x', alpha=0.5, label='Rx Symbols')
    
    plt.title(f'QAM星座图 (SNR={SNR_dB}dB)')
    plt.xlabel('实部'); plt.ylabel('虚部')
    plt.grid(True); plt.legend()
    plt.axis('equal')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('ofdm_simulation_corrected.png', dpi=300)
    plt.show()
    
    # 绘制误差向量幅度(EVM)
    evm = np.sqrt(np.mean(np.abs(tx_symbols - rx_symbols)**2)) / np.sqrt(np.mean(np.abs(tx_symbols)**2))
    print(f"误差向量幅度(EVM): {evm*100:.2f}%")

1. 步骤详解

调制过程：

数据映射：二进制数据→QAM符号（星座点映射）
串并转换：将串行符号流分配到N个并行子载波
IFFT变换：将频域符号转换为时域波形（核心操作）
添加循环前缀：复制尾部CP长度数据添加到头部
- 消除符号间干扰(ISI)
- 对抗多径时延
并串转换：生成最终发送信号

解调过程：

串并转换：接收信号分割为OFDM符号
去除循环前缀：丢弃每个符号前CP长度的采样点
FFT变换：将时域信号转换回频域符号
信道均衡（仿真中未体现）：补偿信道失真
QAM解映射：星座点→二进制数据

2. 关键参数说明

子载波数量(N)：决定频谱效率和抗频偏能力
循环前缀长度(CP)：需大于最大多径时延
调制阶数(mod_order)：4-QAM(4种状态)/16-QAM(16种状态)
SNR：衡量信道质量的关键指标

3. 仿真结果分析

时域波形：显示OFDM信号的幅度波动特性
频谱图：展示子载波的正交性和带限特性
星座图：
- 蓝色圆点：发送符号的理想位置
- 红色叉号：接收符号的实际位置
- 点集扩散程度反映噪声影响

在这里插入图片描述

误码率: 0.00e+00 (SNR=20dB)
误差向量幅度(EVM): 9.96%

在理想信道(高SNR)下，误码率应接近0，可以通过修改仿真中的SNR参数，观察信噪比变化对误码率，EVM以及星座图的影响。实际无线通信中需增加信道估计、同步等模块。本仿真完整实现了OFDM核心处理流程，可作为更复杂系统设计的基础。

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