[学习] 多项滤波器在信号插值和抽取中的应用：原理、实现与仿真（完整仿真代码）

多项滤波器在信号插值和抽取中的应用：原理、实现与仿真

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在数字信号处理（DSP）中，信号采样率的转换是常见需求，例如在音频处理、通信系统和图像重建中。插值（增加采样率）和抽取（减少采样率）是核心操作，但直接操作会引入混叠或镜像失真。多项滤波器（polyphase filter）通过高效的结构解决了这一问题，显著降低了计算复杂度。本文将从原理和实现两个角度，详细解析多项滤波器在插值和抽取中的应用，并提供完整的Python仿真实验。所有内容基于DSP标准理论，确保零虚构。

引言

信号采样率转换涉及两个基本操作：

• 插值（Interpolation）：将采样率从 $f_s$ 提升到 $L\times f_s$（$L$ 为插值因子），通过在原始样本间插入零值样本，再应用低通滤波器去除高频镜像。
• 抽取（Decimation）：将采样率从 $f_s$ 降低到 $f_s/M$（$M$ 为抽取因子），先应用低通滤波器抗混叠，再下采样丢弃部分样本。

直接实现这些操作计算量大，尤其在高采样率因子时。多项滤波器（一种多相分解技术）通过将滤波器分解为多个并行子滤波器，优化了处理效率。它在FPGA、DSP芯片和软件实现中广泛应用，如5G通信和音频重采样。接下来，我将从原理到实现逐步展开。

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第一部分：原理详解

多项滤波器的核心在于多相分解（polyphase decomposition），它将一个低通滤波器拆分为多个子滤波器（称为多相分量），实现并行计算。这大幅减少了乘加操作（MAC），尤其在插值和抽取中。

1.1 信号插值中的原理

插值的目标是增加采样率而不引入失真。过程分为两步：

1. 零值插入：在原始信号 $x[n]$ 的每个样本间插入 $L-1$ 个零值，得到上采样信号 $x_{\text{up}}[k]$。
2. 低通滤波：应用截止频率为 $f_s/(2L)$ 的低通滤波器，去除由零插入引起的镜像分量（mirror images），输出平滑信号 $y[k]$。

多项滤波器的应用：

• 传统方法直接滤波计算量大（复杂度 $O(NL)$，其中 $N$ 是滤波器阶数）。
• 多相分解：将滤波器 $h[n]$ 分解为 $L$ 个子滤波器 $e_i[n]$（$i=0,1,\dots ,L-1$)，每个子滤波器处理输入信号的特定相位部分。
  • 数学表示：$$h[n]=\sum _{i=0}^{L-1}{e}_i[m$$