细说卫星导航：定位方程的数学推导与伪距误差分析

定位方程的数学推导与伪距误差分析

1. 伪距误差的来源与建模

在卫星导航中，伪距测量值 ${\rho }_i$ 受多种误差因素影响，主要来源包括：

1. 电离层延迟：信号穿过电离层时折射导致的额外路径延迟。
2. 对流层延迟：信号穿过对流层（大气底层）时的折射。
3. 多径效应：信号反射或散射导致的额外路径。
4. 接收机噪声：硬件误差、量化误差等。
5. 卫星钟差：卫星时钟与系统时间偏差（已通过导航电文修正，但残余误差仍存在）。
6. 轨道误差：卫星位置计算误差。

这些误差可建模为伪距的加性误差项：
$${\rho }_i=d_i+c\Delta t+{ϵ}_i$$
其中：

• $d_i$ 是真实几何距离
• $c\Delta t$ 是接收机钟差
• ${ϵ}_i$ 是总误差项，包含上述所有误差源，通常假设为随机误差，满足：
  $${ϵ}_i\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_i^2)$$

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2. 含误差的定位方程

考虑误差后的定位方程为：
$$\sqrt{(x_i-x{)}^2+(y_i-y{)}^2+(z_i-z{)}^2}+c\Delta t={\rho }_i-{ϵ}_i$$

线性化后（参考之前的推导）变为：
$$A\Delta \mathbf{x}=\mathbf{b}-ϵ$$
写成矩阵形式：
$$[\begin{array}{c}\frac{x_1-x_0}{d_1}\\ \frac{x_2-x_0}{d_2}\\ \frac{x_3-x_0}{d_3}\\ \frac{x_{}}{d_4}\end{array}$$