11、复数与常系数ODE的解析解

复数与常系数ODE的解析解

1. 三角形相关问题与复数基础

1.1 三角形中点与特定点问题

考虑三角形∆(ABC)，其中D是BC线段的中点，定义点G使得(\overrightarrow{GD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD})。若(z_A)，(z_B)，(z_C)是表示点(A, B, C)的复数，需要完成以下任务：
- 求表示点G的复数(z_G)。
- 证明(\frac{\overrightarrow{CG}}{\overrightarrow{CF}} = \frac{2}{3})，且F是线段(AB)的中点。

1.2 复数共轭与除法

1.2.1 复数共轭定义

复数(z = a + jb)的共轭复数(\overline{z})定义为(\overline{z}=a - jb)。从几何角度看，(z)和(\overline{z})在复平面上关于实轴（x轴）对称。在MATLAB中，复数共轭写作 conj(z) 。

1.2.2 复数模的定义

复数(z = a + jb)的模(\vert z\vert)定义为(\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2})。几何上，它表示复平面上原点到表示复数(z)的点的距离。在MATLAB中，(z)的模表示为 abs(z) 。

1.2.3 重要定理

对于任意复数(z)，有(\vert z\vert^2=z\overline{z})。证明如下：
[
\begin{align }
z\ove