10、二阶常微分方程的级数解：泰勒级数与弗罗贝尼乌斯方法

二阶常微分方程的级数解：泰勒级数与弗罗贝尼乌斯方法

在解决二阶常微分方程（ODE）时，泰勒级数和弗罗贝尼乌斯方法是两种非常重要的工具。本文将详细介绍这两种方法，并通过多个实例展示它们在求解ODE中的应用。

泰勒级数求解常微分方程

假设一个二阶常微分方程的解可以在初始点 $x_0 = 1$ 附近展开为泰勒级数，那么解的形式为：
[y(x) = \frac{y(1)}{0!} + \frac{y’(1)}{1!}(x - 1) + \frac{y’‘(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{y’‘’(1)}{3!}(x - 1)^3 + \frac{y^{(4)}(1)}{4!}(x - 1)^4 + \cdots]
以一个具体的ODE为例，已知 $y’’ = 2xy$，$y’‘’ = 2y + 2xy’$，$y^{(4)} = 4y’ + 2xy’‘$。结合初始条件 $y(1) = 1$，$y’(1) = 0$，可以计算出：
- $y’‘(1) = 2\times1\times y(1) = 2$
- $y’‘’(1) = 2y(1) + 2\times1\times y’(1) = 2$
- $y^{(4)}(1) = 4y’(1) + 2\times1\times y’‘(1) = 4$

将这些值代入泰勒级数中，得到解为：
[y(x) = 1 + 0 + \frac{2}{2!}(x - 1)^2 + \frac{2}{3!}(x - 1)^3 + \frac{4}{4!}(x - 1)^4 + \cdots = 1 + (x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 + \frac{1}{6}(x