12、傅里叶分析中的复数应用与信号特性

傅里叶分析中的复数应用与信号特性

1. 引入复数简化公式

在信号处理中，将正弦和余弦函数转换为复指数函数可以大大简化许多公式。利用欧拉公式：
[
\begin{align }
\exp(i\omega t) &= \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)\
\exp(-i\omega t) &= \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)
\end{align }
]
可以推导出：
[
\begin{align }
\cos(\omega t) &= \frac{\exp(i\omega t) + \exp(-i\omega t)}{2}\
\sin(\omega t) &= \frac{\exp(i\omega t) - \exp(-i\omega t)}{2i}
\end{align }
]
在傅里叶级数中，除了需要使用复数外，主要的复杂之处在于需要同时考虑正频率和负频率。之前我们将正弦和余弦函数配对，现在则将具有正频率和负频率的复指数函数配对：
[d(t) = \cdots + A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \cdots = \cdots + C_{-}\exp(-i\omega t) + C_{+}\exp(i\omega t) + \cdots]
其中，(C_{-})和(C_{+})分别是负频率和正频率项的系数。由于时间序列(d(t))是实数，所以(C_{-})和(C_{+})是彼此的复共轭