10、环境数据的广义最小二乘法分析与应用

环境数据的广义最小二乘法分析与应用

1. 正态概率密度函数的乘积特性

在数据处理中，我们常常会遇到需要处理多个概率密度函数的情况。对于两个正态概率密度函数，我们可以通过将差异吸收到归一化中，从而消除差异。在归一化因子的作用下，$p_c(m) = p_a(m)p_b(m)$，即两个正态概率密度函数的乘积仍然是一个正态概率密度函数。

在不相关且方差相等的情况下，有以下规则：
- $\sigma_c^{-2} = \sigma_a^{-2} + \sigma_b^{-2}$
- $\mu_c = (\sigma_a^{-2} + \sigma_b^{-2})^{-1}(\sigma_a^{-2}\mu_a + \sigma_b^{-2}\mu_b)$

当其中一个概率密度函数（如$p_a(m)$）不包含信息（即$C_a^{-1} \to 0$）时，乘法对协方差矩阵和均值没有影响，即$C_c^{-1} = C_b^{-1}$且$\mu_c = \mu_b$。当$p_a(m)$和$p_b(m)$都包含信息时，乘积的协方差通常小于任何一个概率密度函数的协方差，均值$\mu_c$会位于连接$\mu_a$和$\mu_b$的直线上。

2. 广义最小二乘法

广义最小二乘法旨在结合先验信息和观测数据来估计模型参数。通过找到$p(m|d)$的模式，我们可以得到广义误差$E_T(m)$的定义：
$p(m|d) \propto \exp\left(-\frac{1}{2}E_T(m)\right)$
其中$E_T(m) = E_p(m) + E(m) = (Hm - \mu_h)^T[C_h]^{-1}(Hm - \mu_h) + (Gm