8、阿贝尔群的可组合扩展

阿贝尔群的可组合扩展

1. 引言

决策程序是验证工具的基本引擎，用于检查公式在背景理论下的可满足性，这些背景理论可能包含标准数据类型（如列表、数组、位向量等）的公理化。如今，人们越来越关注应用定理证明器来构建验证中感兴趣的理论的决策程序。将算术性质的推理融入定理证明器是一个特别具有挑战性的问题。许多工作都关注于内置某些等式公理的问题。

结合律 - 交换律（AC）的情况已被广泛研究，因为它出现在许多等式理论中，其中阿贝尔群理论是算术片段的一个很好的候选者。最近，标准叠加演算已扩展为模内置阿贝尔群理论的叠加演算，这为应用模算术片段的叠加演算来构建验证中实用的决策程序铺平了道路。然而，实际问题通常用理论组合来表达，其中算术片段由所有涉及的其他理论共享，在这种情况下，经典的 Nelson - Oppen 组合方法无法应用，因为这些理论共享一些算术运算符。Nelson - Oppen 组合方法的非不相交情况扩展已被提出，该非不相交组合框架最近已应用于整数偏移理论。本文旨在通过研究阿贝尔群的情况来考虑一个更具表达力的片段。

本文的贡献有两个方面：
- 证明阿贝尔群满足证明 Nelson - Oppen 组合方法非不相交扩展的完备性、终止性和有效性所需的所有属性。为证明完备性，展示了存在一个具有量词消去的阿贝尔群理论扩展，并且该扩展在约束可满足性方面的行为与阿贝尔群理论相同。
- 确定一类扩展阿贝尔群理论的理论，对于这些理论，简化的无约束（但多排序）版本的叠加演算被证明是完备的。该叠加演算使我们能够获得有效的决策程序，这些程序可以插入到 Nelson - Oppen 组合方法的非不相交扩展中。

2. 预备知识

2.1 基本概念